中山紀中集訓省選組D2T1 書堆尤拉常數

螞蟻是勤勞的動物，他們喜歡挑戰極限。現在他們迎來了乙個難題！螞蟻居住在圖書館裡，圖書館裡有大量的書籍。書是形狀大小質量都一樣的矩形。螞蟻要把這些書擺在水平桌子的邊緣。螞蟻喜歡整潔的布置，所以螞蟻規定書本必須水平擺放，寬必須平行於桌緣（如圖），而且不允許同一高度擺多本書。

螞蟻想要讓書本伸出桌子邊緣盡量遠，同時不讓書因為重力垮下來。它們已經用不知道什麼方法測出了書的長度\(m\)（如圖）。如果總共有\(n\)本書，請你幫忙計算如何擺放使得最多水平伸出桌緣多遠。你不用考慮螞蟻用什麼方法搭建這堆書。

如果某本書以上的所有書的重心的豎直射影不在這本書上，或者正好落在在這本書的邊界上，那麼這堆書是不穩定的，會因為重力而垮下來。

注意：不考慮地球自轉，重力係數也不因高度改變；

書是質量均勻，質地堅硬的理想二維物體；

在不會垮的前提下，每本書的位置座標可以是任意實數。

輸入檔案僅含一行，兩個正整數\(n\)和\(m\)，表示書本數和書本長度。

輸出僅包含一行，整數\(l\)，表示水平延伸最遠的整數距離 (不大於答案的最大整數，詳見樣例)

1 100

2 100

\(10\%\)的資料中\(n\leq5\)；

\(20\%\)的資料中\(n\leq10^3\)；

\(40\%\)的資料中\(n\leq10^7\)；

\(100\%\)的資料中\(n\leq10^\)；答案\(\leq10^6\)。

設\(f_i\)表示\(i\)本書達到最大位置時最下方的書與最上方的書的中點的距離。顯然，\(f_1=0\)。

那麼先考慮怎麼通過\(f\)的前\(i\)個值計算出\(f_\)。

記\(f\)的字首和為\(g\)，那麼前\(i\)本書的總重心與最上方的書的中點的距離是\(\frac\)。而要保證伸出的距離最長，顯然應該讓上面\(i\)本書的總重心落在第\(i+1\)本書的邊緣上。這樣就會發現，\(f_=\frac+\frac\)。這樣，我們就可以遞推計算答案了。

但是，\(n\)是\(10^\)級別的，這樣的遞推公式沒法滿足我們，我們首先得將\(g\)消去。

考慮到\(g_i=g_+f_i\)，\(f_i=\frac}+\frac\)，將他們代入上式。

\[f_=\frac+\frac}+\frac}+\frac=\frac}+\frac}+\frac=\frac}+\frac+\frac=f_i+\frac

\]這樣，我們就有了用\(f_i\)求\(f_\)的方法，也就知道了\(f_i=\sum_^\frac\)，而我們要求的\(n\)本書的最長延伸距離恰好就等於\(f_\)，也就是\(m\cdot\sum_^\frac\)。我們只需要快速求出正整數的倒數和，就可以快速計算\(f\)了。

至於如何求正整數的倒數和呢？當\(n\leq10^7\)時，我們可以\(o(n)\)暴力求解，然而\(n\)更大的話就會超時。但同時我們可以注意到，答案不超過\(10^6\)，相當於我們只要求出答案的前\(6\)位有效數字即可，於是我們可以借助尤拉常數計算，如下：

\[\gamma=\lim_\sum_^\frac-\ln(n)

\]於是當\(n\)很大時，我們可以用\(\ln(n)\)和\(\gamma\)相加求出正整數的倒數和的近似值。至於\(\gamma\)具體是多少，可以通過暴力計算\(\sum_^\frac\)與\(\ln(10^9)\)的差得出近似值，大約是\(0.57721566\)。

吐槽：這題不知道尤拉常數就做不了啊（雖然尤拉常數基本可以當成乙個常識了）……不知道的人就算推出倒數和的形式也搞不出來啊……

\(code:\)

#include #include #include #include #include using namespace std;
#define ll long long
ll n;
int m;
int main()
else
}

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