樹鏈剖分學習筆記

前言

書上只講了重鏈剖分，菜雞也只會這一種，想看其他的是別想了。

要會樹鏈剖分，首先你需要了解一些概念。我們把乙個節點的所有兒子節點中子樹節點數最大的稱為重兒子，也就是size最大的子節點。size的定義我在講換根dp時說過，因此不再贅述。對於每個節點的重兒子，我們用 \(son[x]\) 來記錄它，父親節點到重兒子的那條邊稱為重邊，而連向其他兒子的邊則稱為輕邊。

可以試著想象一下，或者手畫一棵樹，就會發現，許多重邊連在一起，構成了一條鏈，這條邊的頂端節點，我們用 \(top[x]\) 來記錄，其中 \(x\) 是這條鏈上的任意乙個節點，也就是說，對於同一條鏈上的節點，它們的top的值都是一樣的。

還可以發現，每條鏈的頂點，隔著一條輕邊，就到了另一條鏈的節點上，也就是說，我們只要記錄每個節點的父節點，就可以讓它們轉移到另一條鏈上去。

我們可以想到，如果可以一次跳一條鏈，這樣求lca豈不比倍增要快得多？當兩個點跳到一條鏈上的時候，深度更小的那個自然就是lca了，而這需要的只是簡單的預處理罷了。

但是還有問題，我們不能一直跳，而且我們一次只能跳乙個點，選哪個好呢？

這時top陣列就有用了，兩個點的top值不相等，說明兩個點肯定還沒有跳到同一條鏈上，而我們只要在每次跳之前判斷一下x節點在的這條鏈的頂點和y這條鏈的頂點那個深度更大，每次跳深度更大的那個就是了。

樹鏈剖分的基本原理就是如此，通過將一條條重鏈剖分出來，以達到快速維護樹上資訊的目的。

你可能還有疑問，不就是求個lca，怎麼又可以維護樹上資訊了呢？

別急，先讓我們看一道模板題：樹的統計。

沒有什麼花裡胡哨的東西，講的很明白，就是要你維護樹上的資訊，然而資料規模之大，是普通的演算法所承受不了的。這時候，樹鏈剖分就會發揮它的奇效了。

首先看到這些操作，有沒有覺得很熟悉？沒錯，這正是線段樹裡面的慣常操作，只是現在不要求你維護序列，而要求你維護一棵樹，那我們是否可以把樹上的資訊轉換到一段序列上呢？

當然可以，我們只要以dfs序來構造乙個線段樹就可以了。dfs序，簡單點說，就是用dfs遍歷整棵樹時，節點出現的順序，我們只要在進入遞迴時和回溯時分別記錄一次就好了，放到樹鏈剖分裡就只要記錄進入遞迴時的順序即可。

接下來的就很簡單了，操作以模板題為例，我們可以仿造上面求lca的方法，讓兩個一次一次的跳，每次利用線段樹來查詢一條鏈上的資訊，最終迴圈結束，兩個點已經在同一條鏈上，那麼這時我們只要再查詢u點到v點的資訊，就可以了涵蓋兩個點間路徑上的所有節點。當然，記得先判斷一下u和v兩點的深度，小的下標更小，查詢時放前面。

說了這麼多，就來看看**吧。

先是預處理的

void dfs1(int x,int fa)
}void dfs2(int x,int fa)
for(int i=head[x];i;i=next[i])
}

要預處理的資訊有很多，在寫的時候一定要仔細，不要寫錯或寫漏，樹鏈剖分碼量一般都很大，寫錯乙個小細節可能就要花費你大量的除錯時間。

接下來是詢問的**

void ask(int x,int y)

為了方便，我的query函式沒有返回值，用全域性變數summ和maxn，放在query函式內，每次詢問時一起更新。

建樹部分

void build(int k,int l,int r)
int mid=(l+r)>>1;
build(k<<1,l,mid);
build(k<<1|1,mid+1,r);
sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
max[k]=max(max[k<<1],max[k<<1|1]);
}

num記錄的是每個點的點權。

線段樹修改和查詢的**就不在此列出來了，有需要可以看我這道題的完整ac**。

**#include#include#include#includeusing namespace std;


const int n=3e4+10,m=1e5+24000;
int n,q,num[n];
int top[n],rev[m],seg[m],size[n],son[n];
int dep[n],father[n],sum[m],max[m];
int next[n<<1],ver[n<<1],tot,head[n<<1];
int summ,maxn;
void add(int x,int y)
inline void query(int k,int l,int r,int l,int r)
int mid=l+r>>1;
if(pos<=mid)change(k<<1,l,mid,v,pos);
if(mid>1;
build(k<<1,l,mid);
build(k<<1|1,mid+1,r);
sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
max[k]=max(max[k<<1],max[k<<1|1]);
}void dfs1(int x,int fa)
}void dfs2(int x,int fa)
for(int i=head[x];i;i=next[i])	}
inline void ask(int x,int y)
inline int read()
while(ch>='0'&&ch<='9')
return x*f;
}int main()
{	n=read();
for(int i=1;i
總之，樹鏈剖分就是這麼簡單了。這裡還有一些樹上操作，以及一些注意事項，都是我做題時遇到的，一一列下。
最短路徑和路徑是一樣的，樹的邊是無向的，總共就n-1條，從x點到y點只有一條路徑，哪有什麼最短路與次短路之分……
修改一條鏈上的資訊和查詢一條鏈上的資訊方法是一樣的，換個函式名而已，應該不會有人不會吧……
略……關於樹的操作太多了，每道題都不一樣，記住一些慣常操作就行了，其他的靠你自己推也應該可以推出來。畢竟資料結構題還是考你**實現能力，思維能力要求不會太高。
我也不知道為什麼又要弄乙個大標題，其實也沒什麼好講的……
進入正題，樹鏈剖分中有些題它並不給你點權，而是給你邊權，其他的跟點權的題一樣，沒什麼區別。
那麼怎麼把邊權轉點權呢？我們用的辦法一般是讓邊權變成子節點的點權。沒錯，也就是說對於一條邊 \((u,v)\) ，假如u是v的父節點，我們就把這條邊的邊權當做v點的點權，反之亦然，也就是說，根節點無權。

這事其實很簡單，只要在dfs1函式中的迴圈裡加上這麼一條語句num[y]=w[i]，一切就水到渠成了。

還有乙個要修改的地方就是當兩點跳到同一條鏈上時，迴圈外的語句變成這樣query(1,1,n,seg[x]+1,seg[y])。

這其實也很容易想明白，因為x這個點是深度最小的那個點，而它的權是它的父節點連向它那條邊的權，顯然不在我們的路徑內。畢竟假設我們查詢時路徑上的點有t個，那麼自然也就只有t-1條邊要查詢/修改。

還有一點要注意的就是，如果題目要求你修改的是輸入的第k條邊，那麼你就要記錄下輸入的點，並在查詢時判斷一下哪個節點是子節點，因為我們第k條邊的邊權轉移到的是當中的兩點中的子節點上，不能修改錯誤。判斷兩點深度大小就可以實現了。

練手題：grass planting g

最後給出一道碼量極大的boss題：旅遊

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