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好東西,以後可以不打線段樹了
本篇假定讀者都會最基礎的兩種樹狀陣列,即區改單查和單改區查
思考如何維護乙個區間的值,想到了差分
對乙個差分陣列做一次字首和可以得到每個位置的值
再對每個位置累加一下就是乙個區間的值
公式化的講,就是
設差分陣列為\(c\)
則每個位置的值
\(val_i=\sum\limits_^ic_j\)
乙個區間\([l,r]\)的值
\(s_=\sum\limits_^rval_i\)
寫成字首和相減的形式就是
\(s_=\sum\limits_^rval_i-\sum\limits_^val_i\)
不難發現,乙個區間的值實際上就是差分陣列字首和的字首和做減法
也就是說,我們只要維護出字首和的字首和就可以用樹狀陣列維護區間了
考慮如何維護字首和的字首和
\(s_p=\sum\limits_^p\sum\limits_^ic_j\)
考慮每個\(c_j\)的出現次數,可以得到
\(s_p=\sum\limits_^p\left(p-i+1\right)c_i=\left(p+1\right)\sum\limits_^pc_i-\sum\limits_^pi *c_i\)
經過如上的簡單推導,我們只要維護\(\sum\limits_^pc_i\)和\(\sum\limits_^pi *c_i\)這兩個東西就可以了
前者就是差分陣列,而後者我們只要在維護差分陣列時乘以相應的位置的下標即可
這兩個東西我們都可以用樹狀陣列維護單點修改區間查詢一樣的方法維護
int c1[maxn],c2[maxn];
int lbt (int x)
void modify (int l,int r,int v)//維護差分陣列
最開始這兩句我沒有看懂,不是說好的維護\(i*c_i\)嗎,怎麼寫出來時就變成\(l*v\)和\(r*v\)了
如果你也有這樣的疑惑,這說明太久沒打樹狀陣列或者沒想樹狀陣列的原理你也忘記樹狀陣列的原理了
這個東西維護的是差分陣列,而不是差分陣列的字首和!
對於查詢
int query (int l,int r)
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