樹狀陣列區間修改區間查詢思緒整理

樹狀陣列真是強啊嚶嚶嚶。

介紹區間修改+區間查詢之前一定要說一下區間修改+單點查詢。

原本樹狀陣列只能用於單點修改+區間查詢。但是把原陣列的差分陣列做成樹狀陣列就可以做到區間修改+單點查詢。

即c[i]=a[i]-a[i-1]（a[0]=0）,然後把c陣列建成樹狀陣列c ' ;這樣對於a[i]就可以用sum(c ' [j] (j=1->i) )求得，利用樹狀陣列性質可以logn求得結果。

考慮如下式子:sum(a[i] (i=1->j) )=j*c[1]+(j-1)*c[2]+……+1*c[j];

j*a[j]-sum(a[i] (i=1->j) )=0*c[1]+1*c[2]+……+(j-1)*c[j];

於是我們可以用陣列d[i]=(i-1)*c[i]做成樹狀陣列維護結果;

sum(a[i] (i=1->j) )=j*getsum(a,j)-getsum(d,j);

求原陣列區間和的時候 sum(a[i] (i=l->r) )=sum(a[i] (i=1->r) )-sum(a[i] (i=1->l-1) );代入方法即可。

重點是兩個陣列的更新：

差分樹狀陣列c ' 的更新：當給[l,r]增加x時，只需要從c ' [l]增加x並向上lowbit增加x，並且從c ' [r+1]增加-x並向上lowbit增加-x即可。

維護陣列的更新：首先可知d[i]=(i-1)*c[i]; 當差分陣列更新增量x的時候，例如c[l]增加了x，l的累加lowbit的位置的c也要累加x，那麼由於d[i]=(i-1)*c[i];這些位置對應的d也要同時增加(l-1)*x;

問題是為什麼對於d[r+1]是向上累加r*x。

我們知道d陣列是同比與c陣列變換的。在區間更新的時候，僅僅是讓c[l]增加了x,c[r+1]增加了-x,為了讓d陣列同比與c陣列變化，所以d[r+1]應該向上累加r*(-x);

應該保持的原則是這樣的，c是差分陣列，d[i]=(i-1)*c[i] 所以在變換的時候，我們更應該關注的是原陣列，而不是做成樹狀陣列的陣列。我們只是按照樹狀陣列的方式向上更新，但是初始點是哪個，具體更新多少是根據原陣列c和d的關係來看。

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