圖形碼農 2016-07-13 13:37:33
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分類專欄： 碰撞檢測
從圖形來說
射線和圓相交, origin是射線起點， dir是射線的方向向量。p0，p1是兩個交點，center為圓心，半徑為r，d為圓心到射線的距離。
我們先以2d切面圖來說明，當射線和圓相交的時候，可以看到，球心 center 到射線 ray 的距離 d <= r，這個即為相交的條件。那麼射線與球相切就轉化為了球心到射線的距離d的判斷。先求出d：
設圓心在射線上的投影為c'，則 origin，center, c' 形成了乙個直角三角形。
獲得射線起點到圓心的向量 voc = vcenter - vorigin
在射線方向上的投影為: poc = voc·dir
勾股定理：d·d = voc·voc - poc·poc
可以求出d的數值，
接下來求p0，p1：
c'，center，p0 or p1點構成直角三角形。
p0 or p1到c'的距離 tca·tca = r·r - d·d;
有如下式子
p0 = dir·( |poc| - tca );
p1 = dir·( |poc| + tca );
要注意，沒有交點的時候， tca·tca < 0 是沒辦法開平方的
推導三維情況可以照上面的去做，dot能保證投影點在同乙個平面上的。
附**bool intersect(const ray& ray, const sphere& sphere, float& t0, float& t1)
return true;
}從方程角度來看
射線方程：ray : p(t) = o + d·t ( t >= 0 )
球的方程：sphere : sqr( p-c ) = r·r (sqr(x) = x^2 = x·x)
o=origin, d=direction, c=center, r=radius
射線方程表明的是如下乙個點的集合p，當t從零增大時, d·t會沿著d向量的方向從零逐步變長，t 取值無限表示了射線單方向。從o點開始在d方向上無限個點構成了一條射線。
球的方程表明了任何點p，只要到c點的距離等於半徑r，則表明點在球面上，這麼乙個球面上的點的集合。
因此當射線與球相交的時候，這個點既在射線上，又在球面上。等式射線的p(t) = 球的p成立。
聯立兩個方程，試著求解 t 有：
sqr( o + d·t - c ) = r·r
設 o-c=oc，有：
sqr( oc+d·t ) - r·r = 0
//展開得到如下式子
=> d·d·t·t + 2·oc·d·t + oc·oc - r·r = 0
=> (d·d)·t·t + 2·(oc·d)·t + oc·oc - r·r = 0
因為 d 是單位向量有d·d = dot(d, d) = 1最後方程為：
t·t + 2·(oc·d)·t + oc·oc - r·r = 0;
這是乙個關於 t 的二次方程at^2 + bt + c = 0那麼解就已經出來了：
= 4·sqr( oc·d ) - 4·( oc·oc - r·r )
= 4·( sqr( oc·d ) - oc·oc + r·r );
如果判別式 δ > 0，則表明球與射線相交。
根據以上方程，我們其中試著展開 t 的式子
t0 = -(b + √δ) / 2a = -(b + √δ) / 2·1
= -b/2 - √(δ/4)
= -dot(oc, d) - √( sqr( dot(oc, d) ) - dot(oc, oc) + r·r )
求出 t 後可以根據p(t) = o + d * t 得到交點。
附chai3d中的計算**
inline int cintersectionsegmentsphere(const cvector3d& a_segmentpointa,
const cvector3d& a_segmentpointb,
const cvector3d& a_spherepos,
const double& a_sphereradius,
cvector3d& a_collisionpoint0,
cvector3d& a_collisionnormal0,
cvector3d& a_collisionpoint1,
cvector3d& a_collisionnormal1)
double d = b*b - 4*a*c;
// segment ray is located outside of sphere
if (d < 0)
// segment ray intersects sphere
d = sqrt(d);
double e = 2.0 * a;
// compute both solutions
double u0 = (-b + d) / e;
double u1 = (-b - d) / e;
// check if the solutions are located along the segment ab
bool valid_u0 = ccontains(u0, 0.0, 1.0);
bool valid_u1 = ccontains(u1, 0.0, 1.0);
// two intersection points are located along segment ab
if (valid_u0 && valid_u1)
// compute point 0
ab.mulr(u0, a_collisionpoint0);
a_collisionpoint0.add(a_segmentpointa);
a_collisionpoint0.subr(a_spherepos, a_collisionnormal0);
a_collisionnormal0.normalize();
// compute point 1
ab.mulr(u1, a_collisionpoint1);
a_collisionpoint1.add(a_segmentpointa);
a_collisionpoint1.subr(a_spherepos, a_collisionnormal1);
a_collisionnormal1.normalize();
return (2);
}// one intersection point is located along segment ab
else if (valid_u0)
else
}// one intersection point is located along segment ab
else if (valid_u1)
else
}// both points are located outside of the segment ab
else
}
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