在呼叫windowsapi畫函式圖的時候，經常要用到數學座標到螢幕座標的轉換，因為數學座標系y軸是朝上的，而螢幕y軸是朝下的，而且一般來說，函式影象要展現多個象限，如果直接套用螢幕的座標系，則只能顯示第一象限，並且函式影象是要倒立的。
所以我們要使用座標系變換，把數學座標變換到螢幕座標。座標變換有旋轉和平移，下面來分別討論旋轉和平移的原理，然後把它們結合在一起，獲得乙個快速的座標轉換公式
在極座標系\(ox\)中，有\(a\)，\(a\prime\)兩點，其中\(a\)旋轉\(\theta\)角變成\(a\prime\)
如圖
我們將其轉換為直角座標系
有\[a \ \left\
\rho\ \cos\alpha=x \\
\rho\ \sin\alpha=y
\end\right.
\]\[a\prime \ \left\
\rho\ cos(\alpha+\theta)=x\prime \\
\rho\ sin(\alpha+\theta)=y\prime
\end\right.
\]化簡關於\(a\prime\)的式子可得到\(a(x,y)\)和\(a\prime(x\prime,y\prime)\)的關係
\[\left\
\rho\ ( \cos\alpha \cos\theta - \sin\alpha \sin\theta )=x\prime \\
\rho\ (\sin\alpha \cos\theta + \sin\theta\cos\alpha )=y\prime
\end\right. \to\]
\[\left\
x\cos\theta - y\sin\theta = x\prime \\
x\sin\theta + y\cos\theta = y\prime
\end\right.
\]若使用矩陣表示
\[\begin
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end
\begin
x\\y
\end=
\begin
x\prime\\
y\prime
\end
\]能發現前者是乙個關於\(\theta\)的矩陣，其數學意義就是，\(a\)逆時針旋轉\(\theta\)角之後的座標，它就是所謂的旋轉矩陣，數學符號為\(m\)。
很容易發現旋轉矩陣是乙個正交矩陣，即\(mm^=e=mm^\)
而螢幕座標和我們的數學座標y軸是相反的，而x軸卻相同。則我們可設x相關的矩陣元素為1，而關於y的為\(\pi\)，如下
\[\begin
|\cos\pi|&-\sin\pi\\
\sin\pi&\cos\pi
\end
\to\begin
1& 0\\
0&-1
\end
\]這個算是比較簡單的了，所以不多贅述，設座標軸\(x-y\)的原點為原點， \(x\prime-y\prime\)的原點在前者座標系中常量座標為\((x_,y_)\)
如圖
數學座標到螢幕座標的轉換公式如下
\[\begin
1& 0\\
0&-1
\end
\begin
x\\y
\end
+\begin
x_0\\
y_0\end
= \begin
x\prime\\
y\prime
\end
\]注意，\((x_0,y_0)\)是在\(x\prime-y\prime\)座標系下的座標，就是螢幕座標。
你就把這個過程想象成數學座標旋轉180°之後，在螢幕座標上進行平移（實際上螢幕座標和數學座標並不是旋轉180°的關係，但是你可以這麼想象）。
一般來說，我們可以令
\[ \left\
x_0=\frac \\
\\y_0=\frac
\end\right.
\]其中\((pmx,pmy)\)為螢幕大小
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