luogu p1966 火柴排序

傳送門給定兩個長度都為 \(n\) 的序列，求交換兩個陣列中相鄰數，使得 \(\sum_^n(a_i-b_i)^2\) 最小化的最小步數。

這題分為兩個部分，

那咱們先解決第乙個部分再來解決第二個部分：

看這個式子覺得毫無頭緒，不如咱們用完全平方差拆開一下這個式子：

\[\begin & \sum_^n(a_i-b_i)^2 \\ = & \sum_^n( ^ 2 -2a_ib_i+ ^ 2) \\ = & \sum_^n ^ 2 -\sum_^n2a_ib_i + \sum_^n ^ 2 \\ = & \sum_^n ^ 2 + \sum_^n ^ 2 - 2\sum_^na_ib_i \end

\]顯然，無論怎麼調整 \(a\) 和 \(b\) 的順序，\(\sum_^n ^ 2 + \sum_^n ^ 2\) 總是定值。因此，題目要求的式子的值只與 \(\sum_^na_ib_i\) 有關，也就是要讓這個式子取最大值。（注意是最大值，不是最小值。因為原式子中是減它）

有乙個定理，當 \(a\)，\(b\) 中對於每乙個位置 \(i\) 都有 \(a_i\) 是 \(a\) 中第 \(k\) 小的，而 \(b_i\) 也是 \(b\) 中第 \(k\) 小的時，\(\sum_^na_ib_i\) 最大。（本題已經規定所有火柴高度都是正整數了）

簡證：（預設 \(a, b\) 所有數都是正整數，因為資料範圍已經體現）取 \(a_1 \le a_2, b_1 \le b_2\)，可得 \(a_2(b_2-b_1) \ge a_1(b_2-b_1)\)。把這個式子變一下形可以得到：\(a_1b_1+a_2b_2 \ge a_1b_2+a_2b_1\)。推廣這個結論到多個數便可以得到結論了。

好，現在我們已經知道最優的情況是怎麼排列了，讓同乙個位置的兩個陣列中的數在原陣列中的大小地位相同即可。那麼調換的最小步數又該怎麼求呢？我們進入第二部分：

我們可以考慮這樣一種做法，

估計你此刻一定有114514個問題要問，別急，蟹蟹舉個例子慢慢說。

就按照樣例1來吧：

2 3 1 4

3 2 1 4

那麼將 \(a, b\) 排序，此時位於第 \(i\) 個位置上的數就是地位為 \(i\) 的數了。

排序後進行處理：

2 3 1 4 -> 1 2 3 4 -> 原編號：3 1 2 4
3 2 1 4 -> 1 2 3 4 -> 原編號：3 2 1 4
牢記這個式子：q[a[i].num] = b[i].num;
可得q[a[1].num] = b[1].num -> q[3] = 3
q[a[2].num] = b[2].num -> q[1] = 2
q[a[3].num] = b[3].num -> q[2] = 1
q[a[4].num] = b[4].num -> q[4] = 4
q陣列的值分別為：2 1 3 4
q陣列中共有1個逆序對（2， 1）
因此答案為 1

好，現在你應該理解這個方法是什麼意思了，接下來我們來看為什麼這樣做是對的。

首先，我們來看逆序對的定義。

\(i < j, a_i > a_j\)

轉化為此題中的 \(q\) 陣列，就可以說a[i].num > a[j].num, b[i].num < b[j].num。這說明了什麼？我們以a為基準調整b，那麼b[i]和b[j]的順序就是反的，需要別過來。

還有乙個定理，如果要讓有 \(p\) 個逆序對的序列通過兩兩交換變成上公升序列，那麼需要操作 \(p\) 次。（可以從必有逆序對緊挨定理得出，每次交換緊挨的逆序對即可）

那麼就可以得出答案就和 \(q\) 陣列逆序對數量相等了。

如何求逆序對數量？

/*
* @author: crab-in-the-northeast 
* @date: 2020-11-01 17:04:02 
* @last modified by:   crab-in-the-northeast 
* @last modified time: 2020-11-01 17:04:02 
*/#include #include #include const int maxn = 100005;
const int mod = (int)1e8 - 3;
struct match 
}a[maxn], b[maxn];
long long ans = 0;
int q[maxn], tmp[maxn];
void merge_sort(int l, int r) 
}while (i <= mid)
tmp[k++] = q[i++];
while (j <= r)
tmp[k++] = q[j++];
for (int i = l; i <= r; ++i)
q[i] = tmp[i];
return ;
}int main()

這種問題一看就是要分part討論的，要注意分part討論的題一定不要合在一起討論。不然你會亂！！

然後看到相鄰交換使得序列有序之類的，就要從逆序對數量這個角度考慮了。（雖然這種情況有點特殊）

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