演算法導論裡的習題，有很多都是經典，不少題目都做不出來，到網路上找答案，再自己慢慢理解，這樣的過程使我受益。我精選了一部分習題，寫出思路作為存檔以供查閱。從這篇博文開始，我嘗試使用mathjax來顯示公式，而不是之前若干篇博文中使用，如果你的瀏覽有什麼問題，請告訴我。
前兩題是演算法入門一節挑的，太少就沒有單獨做一篇。
練習2.3-7給出執行時間為 $\theta(nlgn)$ 的演算法，使之能在給定乙個由 $n$ 個整數構成的集合 $s$ 和另乙個整數 $x$ 時，判斷 $s$ 中是否有兩個和為 $x$ 的元素。
思路：首先用合併排序將陣列 $s$ 排序，所需要的執行時間為 $\theta(nlgn)$ 。再用兩個哨兵一頭一尾向中部「巡邏」，如果兩個哨兵的和恰巧為 $x$ ，則找到解，如果哨兵之和大於 $x$ 則將右側哨兵左移一格，若哨兵之和小於 $x$ 則將左側哨兵右移一格，直到兩個哨兵相遇，這個過程所需要的執行時間顯然是 $\theta(n)$ ,整個演算法的執行時間為 $\theta(nlgn)+\theta(n)=\theta(nlgn)$ 。
inverse_num(s, p, q, r)/*s[p~q] and s[q+1~r] are sorted*/
while i=q to p, j=r to q+1
if s[i]>=s[j]
result+=j-q
i--else
j--
從這裡開始是隨機演算法部分精選的部分習題。
練習c.1-7證明 $$\binom=\binom+\binom$$
思路：從 $n$ 個元素中選取 $k$ 個元素的方法數 = 選取某個元素並從剩下的 $n-1$ 個元素中選取 $k-1$ 個元素的方法數 + 不選這個元素並從剩下的 $n-1$ 個元素中選取 $k$ 個元素的方法數。
練習c.2-7描述怎樣構造乙個 $n$ 個事件的集合，使其兩兩獨立，但不存在 $k>2$ 個相互獨立元素的子集。
思路：先取 $s_$ 和 $s_$ 為隨機實數，且相互獨立，然後設定 $s_=s_+s_$，則由 $s_$ 構成的序列滿足題設條件。
練習c.2-9 c.2-10蒙提霍爾問題（三門問題）。
電視遊戲中，獎品放在三個幕布後。選手選擇乙個幕布後，主持人開啟剩餘兩塊幕布，展示後面是空的，此時選手是否應該改變選擇另一塊幕布以增大自己贏得獎勵的機會？
答案是：應該改變選擇，雖然這和直覺相違背。原因就是主持人知道哪一塊幕布後面是大獎，如果選手指定了有獎品的幕布，主持人隨機開啟剩下兩塊空幕布中的一塊；如果選手指定的幕布後是空的，主持人只會開啟剩下的一塊空幕布，而不會隨機開啟一塊（後面有可能是獎品，遊戲結束了，實際上這種情況從不會發生）。有 $2/3$的情況主持人並不是隨機選擇的，而在計算條件概率的時候往往會忽略這點。
監獄看守從三個罪犯 $x$ 、$y$ 、$z$中隨機選擇乙個並處死。$x$ 問監獄看守 $y$ 和 $z$ 誰會被處死，看守回答 $y$ 會被處死，$x$ 認為自己的生還機率由$1/3$ 提高到 $1/2$，是否是這樣？
答案是：概率並沒有提公升為 $1/2$ ，仍然是 $1/3$ 。這裡似乎會出現兩種直覺相衝突的現象，罪犯 $x$ 問看守的問題中暗含了判斷，他問的是 $y$ 和 $z$ 誰會被處死，不管這三個人誰生還，$y$ 和 $z$ 中必定有乙個人死，看守的回答實際上沒有資訊，但是如果罪犯問 $y$ 是被釋放還是處死，而看守回答是處死（這種情況下看守不會主動規避誰被釋放），那麼 $x$ 才有理由高興。
練習c.3-6令 $x$ 為非負隨機變數，假設 $e[x]$ 有良定義（即收斂）。對任意 $t>0$ 證明馬爾科夫不等式：
$$pr\left\\leq \frac$$
根據在連續正隨機變數上期望的定義：
$$e[x]=\int_^xf(x)dx+\int_^xf(x)dx\geq\int_^xf(x)dx\geq \int_^af(x)dx=apr\left \$$
練習c.4-5證明在每次成功概率為 $1/n$ 的伯努利實驗中， $n$ 次都沒有成功的概率約為 $1/e$。
思路：$n$ 次都沒有成功的概率 $p$ ：
$$p(n)=(1-\frac)^$$
當 $n$ 較大時，有
$$\lim_ p(n)=\lim_(1-n)^}=\frac$$
練習c.4-6兩個人分別拋乙個均值硬幣 $n$ 次，他們獲得正面向上次數相同的概率是多少？利用該思路驗證：
$$\sum_^\binom^=\binom$$
思路：計算兩個人都是都拋了 $1$ 次正面朝上、$2$ 次正面朝上……的概率，為
$$pr\=x_\}=\sum_^pr\=x_=k\}=\sum_^\binom^(\frac)^$$
雖然這是乙個正確的結果，但是我們可能希望化簡掉 $\sum$ 符號。
絕妙的思路是：兩個人分別拋 $n$ 次可以視作拋了 $2n$ 次，前 $n$ 次算 $a$ 拋的，後 $n$ 次算 $b$ 拋的——完全沒有問題吧？重點來了，對於 $a$ 每次正面朝上算正面朝上，而對於 $b$ 每次反面朝上算正面朝上（他認為反面才是正面），因為硬幣是均質的，這樣做也不會影響兩個人得到同樣正面個數的概率。這就是一種非常簡單的情況：$2n$ 次拋擲產生了 $n$ 個正面（對於 $a$ 來說）。
所以兩個人獲得正面向上次數相同的概率是
$$pr\=x_\}=\binom(1/2)^$$
思考題c-1基於以下的不同假設，考慮將 $n$ 個球放入 $b$ 個相同盒子中，有多少種方法？
(b) 假設 $n$ 個球是不同的，每個盒子中的球是有順序的，有多少種放法？
將 $b$ 個盒子視為 $b-1$ 跟棍子，棍子將球分隔開，相當於對 $n+b-1$ 個物件全排列，方法數為 $(n+b-1)!$ 。由於 $b-1$ 跟棍子是相同的，所以再除以 $(b-1)!$ ，答案是：
$$\frac$$
(c) 假設球是相同的，盒子也是相同的，又多少種放法？
很顯然，如果球是相同的，$n!$ 個(b)中的方法才會共享乙個(c)的方法，答案是：
$$\binom=\frac$$
練習5.4-6將 $n$ 個球投入到 $n$ 個盒子中，每次投球獨立，落入盒子的機會相等，最後空盒子數量的期望是多少？
思路：解決這類問題的關鍵就是隨機指示器變數，如果根據期望的定義計算空盒子為 $0$ 的概率，為 $1$ 的概率……就會陷入死胡同中。正確的解法是：定義隨機指示器變數 $a_$ 表示第 $i$ 個盒子為空的概率。上文練習c.4-5中已經求得，約為 $1/e$ ，那麼空盒子數量的期望就很簡單為 $n/e$ 了。
演算法導論 隨機演算法
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