一直在想，我們該如何啟發學生的思維，受一篇帖子的啟發，偶發感想，對高中數學中暫時能想到的素材做以整理，以饗讀者。a+、解方程中的由數到式，單項式到多項式
下面的表示式我們肯定經常見到，但是不大會引起我們的共鳴。
\[1^2-3\times1+2=0
\]\[2^2-3\times2+2=0
\]那麼你有沒有想過，如果我們用乙個未知數\(x\)同時替換上式中的\(1\)和\(2\)，
就得到了乙個相同的式子，就是\(x^2-3x+2=0\)，這就是一元二次方程。
這樣的一元二次方程一般都會求解，要麼用公式法，要麼分解為\((x-1)(x-2)=0\)，
利用實數的性質，得到\(x=1\)或\(x=2\)。
問題是你有沒有思考過，這個替換過程中，已經體現了由數\(1(2)\)到未知數\(x\)的提公升，思維已經完成了由算術到代數的質的飛躍，也就是說，已經開始用字母代替數字思維了。也許這是個了不起的變化。
為什麼這麼說呢？我們可以這樣想，求解這個方程，\(x^4-3x^2+2=0\)，我們其實可以這樣做，
令\(x^2=t\ge 0\)，則原方程就會轉化為\(t^2-3t+2=0\)，可以先解出\(t=1\)或\(t=2\)，
然後再求解\(t=x^2=1\)或\(t=x^2=2\)，從而解得\(x=\pm 1\)或\(x=\pm \sqrt\)。
其實，我們只是使用了代數變換，或者整體思想，就解決了我們看起來很困難的問題。這是乙個了不起的變化。
一旦我們的思維被打通，那麼我們能解決的問題，就絕不止這些了。
比如求解這樣的方程
\[(e^x)^2-3e^x+2=0
\]\[(log_2x)^2-3log_2x+2=0
\]\[(\sqrt[3])^2-3\sqrt[3]+2=0
\]\[(sin\theta)^2-3sin\theta+2=0
\]\[(cos\theta)^2-3cos\theta+2=0
\]只是分別做了這樣的整體代換\(t=e^x\)，\(t=log_2x\)，\(t=e^x\)，\(t=\sqrt[3]\)，\(t=sin\theta\)，\(t=cos\theta\)而已。
甚或我們還可以完成有單項式到多項式的替換，這樣我們的思維層次就更高一些了，
比如求解$$(log_2x+1)^2-3(log_2x+1)+2=0$$ $$(sin\theta-1)^2-3(sin\theta-1)+2=0$$
也無非就是讓模型\(t^2-3t+2=0\)中的未知數變得更複雜，\(t=log_2x+1\)而已，
看到這裡，你能仿照著編寫乙個求方程的題目嗎？
這樣我們不就有了些許的學習成就感了嗎？
b、解不等式中的數到式，單項式到多項式
解這樣的不等式\(x^2-3x+2<0\)，解集是\(\-3e^x+2<0\)； \(e^x\longrightarrow x\)
\(log_2^2x-3log_2x+2<0\)；\(log_2x\longrightarrow x\)
\((sinx+1)^2-3(sinx+1)+2<0\)；\(sinx+1\longrightarrow x\)
\(x^4-3x^2+2<0\)；\(x^2\longrightarrow x\)
再比如，當我們會解三角不等式 \(2sinx>1\)，解集為\(\
那麼，\(2sin(3x+\cfrac)>1\)，理解了上述的表達，
你就會寫出此不等式的解集為\(\\mid 2k\pi+\cfrac<3x+\cfrac<2k\pi+\cfrac\}\)
再整理為\(\-\cfrac；
c、演算法中的思維訓練
5、已知\(tan\alpha=\cfrac\)，求\(sin^4\alpha-cos^4\alpha\)的值。
【法1】：方程組法，由\(\left\=\cfrac}\\\end\right.\)，
解得\(sin^2\alpha=\cfrac\)，\(cos^2\alpha=\cfrac\)，
代入得到\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=-\cfrac\)；
【法2】：齊次式法，\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=(sin^2\alpha-cos^2\alpha)(sin^2\alpha+cos^2\alpha)=sin^2\alpha-cos^2\alpha\)
\(=-cos2\alpha=-\cfrac=\cfrac=-\cfrac\)；
【法3】：由\(\cfrac=\cfrac\)，引入比例因子，可設\(sin\alpha=k\)，\(cos\alpha=2k(k\neq 0)\)，
由\(k^2+(2k)^2=1\)，可得\(k^2=\cfrac\)，故\(k^4=\cfrac\)，
則\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=k^4-(2k)^4=-15k^4=-\cfrac\)；
8、三角函式中的齊次式
比如：\(\cfrac\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的一次齊次式]\cfrac\) (\(a,b,c,d\)為常數)；
小結：實現了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的轉化；
比如：\(\cfrac=\cfrac\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的二次齊次式]\cfrac\)
小結：實現了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的轉化；
再比如：\(a\sin2\theta+b\cos2\theta=\cfrac=\cfrac\)，
其餘留作思考：\(\sin2\theta\)， \(\cos2\theta\)，\(1+\sin2\theta\)， \(2-\cos2\theta\)，\(3\sin2\theta-2\cos2\theta\) 等等
c、從算術到代數的演變
理解數學的本質提高學生數學素養
d、注意數學知識的給出方式，
例說學習方法的改造和提公升
函式的單調性
e、用四則運算構造新函式
建構函式的角度
f、從簡原則，變數集中
變數集中思想的應用
五、向量的使用，新工具的作用的體會
六、引數方程中的引數，引數的幾何意義，變數集中，
七、線性規劃的引申，由數到形，如求\(\cfrac\)的取值範圍。
八、進退結合，
九、求解\(lnx=1-x\)的體會，數行不通，換形。代數方程到超越方程。
十、由\(a_=pa_n+q\)構造到\(a_=3a_n+8n+6\)的構造等等；
十一、用臨界位置打通數形聯絡
如\(x^2+y^2=1\)，我們知道這是個圓，即圓上的所有點構成的點集；
那麼\(y=\sqrt\)，應該是\(x\)軸上方的單位圓；
那麼碰到\(0\leq y\leq \sqrt\)呢？
先用等號替換不等號得到\(y=0\)或者\(y=\sqrt\)，
其分別刻畫的是\(x\)軸和\(x\)軸上方的單位圓；
故\(0\leq y\leq \sqrt\)刻畫的應該是\(x\)軸上方的單位圓和單位圓的內部；
十二、歸納推理，模擬推理
數列的前\(n\)項和\(s_n\)；數列的前\(n\)項積\(t_n\)；
4 16思維訓練
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5 6思維訓練
a guest from the past 題解 暴力迴圈會超時。買玻璃瓶有返還，而塑料瓶沒有，應當優先考慮玻璃瓶。玻璃瓶的實際 為b c，但當前 要 b才能買。設買了n瓶，先減去最後一瓶的錢 不包括返還 然後前面的瓶一定能買下並且 為b c。然後剩餘的錢買塑料瓶即可。include using n...
5 7思維訓練
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