含引數的二次不等式的求解是高中學生的難點，涉及到代數的內涵。解關於\(x\)的不等式\(-x^2+4x-3 \ge 0\)
分析：\(x\in [1，3]\)；
解關於\(x\)的不等式\((x-2)[x-(3a+1)]<0\) 解關於\(x\)的不等式\(x^2-\cfracx-\cfrac<0\)分析：將原不等式等價轉化為\((x-a)(x+\cfrac)<0\)，
令\((x-a)(x+\cfrac)=0\)，
則方程的兩個根為\(x=-\cfrac\)和\(x=a\)，
下來根據這兩個動根的大小分類討論
當\(-\cfrac時，即\(a>0\)時，不等式的解集為\((-\cfrac，a)\)；
當\(-\cfrac=a\)時，即\(a=0\)時，不等式的解集為\(\varnothing\)；
當\(-\cfrac>a\)時，即\(a<0\)時，不等式的解集為\((a，-\cfrac)\)；
綜上，略。
解關於\(x\)的不等式\(x^2-(a^2+a)x+a^3\leq 0\)
分析：將原不等式等價轉化為\((x-a^2)(x-a)\leq 0\)，
其對應方程的兩個根為\(x=a^2\)和\(x=a\)，分類討論如下：
\(1^\) 當\(a^2>a\)，即\(a<0\)或\(a>1\)時，解集為\([a，a^2]\)；
\(2^\) 當\(a^2=a\)，即\(a=0\)或\(a=1\)時，解集為\(\\)；
\(3^\) 當\(a^2，即\(0時，解集為\([a^2，a]\)；
綜上所述：
當\(a<0\)或\(a>1\)時，解集為\([a，a^2]\)；
當\(a=0\)或\(a=1\)時，解集為\(\\)；
當\(0時，解集為\([a^2，a]\)；
解關於\(x\)的不等式\(\cfrac<0\).
分析：當\(a=1\)時，原不等式為\(1<0\)，故解集為\(\varnothing\)；
當\(a\neq 1\)時，由於\(a^2+1>2a\)，故解集為\((2a，a^2+1)\)；
解關於\(x\)的不等式\(ax^2-(a+1)x+1<0\)
分析：若\(a=0\)時，原不等式等價於\(-x+1<0\)，即\(x>1\)；
若\(a<0\)時，原不等式等價於\((x-\cfrac)(x-1)>0\)，解得\(x1\)；
若\(a>0\)時，原不等式等價於\((x-\cfrac)(x-1)<0\)，
當\(\cfrac=1\)時，即\(a=1\)時，不等式無解；
當\(\cfrac<1\)時，即\(a>1\)時，不等式解集為\(\；
當\(\cfrac>1\)時，即\(0時，不等式解集為\(\\)或\(x>1\}\)；
當\(a=0\)時，不等式解集為\(\\)；
當\(0時，不等式解集為\(\；
實際高三數學教學和考試中的相關習題常常是這樣的，理解掌握。①\(x^2-5\sqrtx+8\ge 0\)，即\((x-\sqrt)(x-4\sqrt)\ge 0\)；
②\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；
③\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\)；即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\)；
④\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\)；
⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\)，即\((x-1)(x-a)\leq 0\)；
⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\)；即\((x-a)[x-(a+1)]\leq 0\)；
⑦\(\cfrac<0(a\neq 1)\)；即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\)，解集為\((2a，a^2+1)\)；
⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\)，即\((x+1)[x+(m+3)]<0\)；
設函式\(f(x)=\cfrac+aln(1+x)\)，討論\(f(x)\)的單調性；
【分析】利用導數轉化為求解含有引數a的不等式，給導函式的分子配方就能找到分類討論的標準。
【解答】導數法研究單調性，先求出定義域\((-1，+\infty)\)，
\(f'(x)=x+\cfrac\)
\(=\cfrac\)
\(=\cfrac\)
\(=\cfrac)^2+a-\cfrac}\)，
①當\(a≥\cfrac\)時，\(f'(x)≥0\)恆成立，且當\(a=\cfrac\)時僅僅在\(x=-\cfrac\)處取到等號，
故函式\(f(x)\)在\((-1，+∞)\)上單調遞增；
②當\(a
接下來將其中的小根和-1作比較，
當\(-1
\(x\in (-1，\cfrac})\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，
\(x\in(\cfrac}，\cfrac})\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減，
\(x\in(\cfrac}，+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，
當\(-1=\cfrac}\)時，即\(a=0\)時，\(x\in (-1，\cfrac})\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減，\(x\in(\cfrac}，+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，
當\(-1>\cfrac}\)時，即\(a<0\)時，\(x\in(-1，\cfrac})\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減，\(x\in(\cfrac}，+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，
綜上所述，當\(a≥\cfrac\)時，函式\(f(x)\)的單調遞增區間為\((-1，+∞)\)，無單調遞減區間；
當\(0時，單調遞增區間為\((-1，\cfrac})\)和\((\cfrac}，+\infty)\)，
單調遞減區間為\((\cfrac}，\cfrac})\)；
當\(a≤0\)時，單調遞減區間為\((-1，\cfrac})\)，單調遞增區間為\((\cfrac}，+\infty)\)；
已知函式\(f(x)=\cfracax^3-\cfrac(a+1)x^2+x\)，且\(a>0\)，試判斷函式\(f(x)\)的單調性；
分析：函式\(f(x)\)的定義域為\((-\infty,+\infty)\)，\(f'(x)=ax^2-(a+1)x+1=a(x-\cfrac)(x-1)\)，
當\(\cfrac=1\)時，即\(a=1\)時，\(f'(x)\geqslant 0\)恆成立，則在\((-\infty,+\infty)\)單調遞增；
當\(\cfrac<1\)時，即\(a>1\)時，
當\(x\in (-\infty,\cfrac)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增；當\(x\in (\cfrac,1)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減；當\(x\in (1,+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增；
當\(\cfrac>1\)時，即\(0時，
當\(x\in (-\infty,1)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增；當\(x\in (1,\cfrac)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減；當\(x\in (\cfrac,+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增；
綜上所述，
當\(0時，函式的單調遞增區間為\((-\infty,1)\)和\((\cfrac,+\infty)\)，單調遞減區間為\((1,\cfrac)\)；
當\(a=1\)時，函式的單調遞增區間為\((-\infty,+\infty)\)；
當\(a>1\)時，函式的單調遞增區間為\((-\infty,\cfrac)\)和\((1,+\infty)\)，單調遞減區間為\((\cfrac,1)\)；
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