以題目為鑑，如何做數學筆記

在數學學習中我們少不了和例題打交道，認真學習例題，研究例題，咀嚼例題的一字一句，從例題中提煉方法、總結思路，對於提高我們自己的數學素養有很大的幫助，不過有些學生還是不太會例題的學習方法，不知道從哪些方面總結提煉，本博文試著做個示範，不妥之處，煩請告知。

這是一道對許多學生而言都有難度的數學題目，使用到的方法比較多，有些思路我們不一定能想的到，以此題為例，我們來看看，如果做筆記對提高我們的數學素養更快一些。

已知二次函式$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象經過點$(-2，0)$，且不等式$2x≤f(x)≤\cfrac^+2$對一切實數$x$都成立。

（ⅰ）求函式$f(x)$的解析式；

【解析】：（ⅰ）由題意得：$f(-2)=4a-2b+c=0①$，

因為不等式$2x≤f(x)≤\cfracx^2+2$對一切實數$x$都成立，

令$x=2$，得：$4≤f(2)≤4$，所以$f(2)=4$，即$4a+2b+c=4②$

由①②解得：$b=1，且c=2-4a，$

所以$f(x)=ax^2+x+2-4a$，

由題意得：$f(x)-2x≥0$且$f(x)-\cfracx^2-2≤0$對$x∈r$恆成立，

即$\beginax^2-x+2-4a\ge 0③\\(a-\cfrac)x^2+x-4a\leq 0 ④\end$對$x\in r$恆成立，

對③而言，由$a>0$且$\delta =1-4a(2-4a)\leq 0$，

得到$(4a-1)^2\leq 0$，所以$a=\cfrac$，經檢驗滿足④，

故函式$f(x)$的解析式為$f(x)=\cfracx^2+x+1$。

（ⅱ）若對任意$x∈[-1，1]$，不等式$f(x+t)＜f(\cfrac)$恆成立，求實數$t$的取值範圍．

【法一】：二次函式法，由題意，$f(x+t) < f(\cfrac)$ 對$ x \in [-1，1]$恆成立，

可轉化為$\cfrac(x+t)^2+(x+t)+1<\cfrac(\cfrac)^2+\cfrac+1$對$x\in [-1，1]$恆成立，

整理為$8x^2+(18t+24)x+9t^2+36t<0$對$x\in [-1，1]$恆成立，

令$g(x)=8x^2+(18t+24)x+9t^2+36t$，則有$\beging(-1)<0\\g(1)<0\end$，

即有$\begin9t^2+18t-16 <0\\9t^2+54t+32 < 0\end$，

解得$\begin-\cfrac< t < \cfrac\\-\cfrac< t <-\cfrac\end$，

所以$t$的取值範圍為$-\cfrac< t <-\cfrac$。

【法二】：利用乘積的符號法則和恆成立命題求解，

由(1) 得到，$f(x)=\cfrac(x+2)^2$，

$f(x+t)< f(\cfrac)$對$x\in [-1，1]$恆成立，

可轉化為$\cfrac(x+t+2)^2 <\cfrac(\cfrac+2)^2$對$x\in [-1，1]$恆成立，

得到$(x+t+2)^2-(\cfrac+2)^2< 0$對$x\in [-1，1]$恆成立，

平方差公式展開整理，即$(\cfrac+t+4)(\cfrac+t)<0$，

即$\begin\cfrac+t+4<0\\\cfrac+t>0\end$對$x\in [-1，1]$恆成立，或$\begin\cfrac+t+4>0\\\cfrac+t<0\end$對$x\in [-1，1]$恆成立；

即$\begint<(-\cfrac-4)_\\t>(-\cfrac)_\end$，或$\begint>(-\cfrac-4)_\\t<(-\cfrac)_\end$，

$\begint <-\cfrac\\t >\cfrac\end$，或$\begint >-\cfrac\\t <-\cfrac\end$，

即$x\in \varnothing$ 或$-\cfrac< t <-\cfrac$，

所以$t$的取值範圍為$-\cfrac< t <-\cfrac$。

從中應該學到什麼，如何記數學筆記

尺有所短，寸有所長。每乙個例題都有她的數學營養成分，只是大小不一樣而已。從乙個例題中能提煉出什麼東西，取決於我們需要提煉什麼。在這裡，學習需求成了乙個很關鍵的問題，當然同時還有個提煉的角度在裡面。我們這裡主要說的是提煉的角度而不是學習需求。同時在你的心裡你得不停的默念：好記性不如爛筆頭。

1、整體把握題目的解答過程。

通讀幾遍例題的解答過程，先不管答案為什麼這樣做，先問自己，我是否看懂了題目。如果沒有看懂，就再看幾遍，直到看懂為止。

比如本題目求解中的$f(2)=4$，怎麼來的，為什麼要這樣做？不這樣做行不行？

2、從思維上提煉，

這時候在我們看例題時的思維停頓處暫停，多想想題目為什麼這樣做，好在**，不好在**，能不能另外找個思路替代。如果你想不到這個思路，那麼這就是你需要總結的地方。比如本題目，求函式的解析式，往往其實質就是解方程組。所以我們需要得到關於$a、b、c$的三個獨立的方程。

3、從題型上總結，

看看這個題目是屬於什麼樣的題型，如果這個題型在你的數學知識題型庫中沒有，那麼將她納入，如果題型有而你沒有做出來，那就是方法不完備的問題了，再看下一步。比如本題目第一問，求函式的解析式；第二問由函式在給定區間上恆成立，求引數的取值範圍。

4、從解題方法上總結，

檢索你已經有的題型和方法，如果二者都有，那就是數學知識的使用還不夠靈活，這一點也正是你需要總結的地方；如果題型和方法都沒有，那就充實和完善她。比如本題目，第一問通過解方程組求解；第二問通過變形整理，分離引數法轉化劃歸為求求函式的最值問題。

5、從數學思想上總結，

看看這個題目考察了什麼樣的數學思想：方程思想，函式思想，轉化劃歸思想，分類討論思想

6、從舉一反三的角度反思，

我們從例題中總結的方法能否用於某一類題目中，怎麼用，可以和你以前做過的題目聯絡對比，

7、其他角度的總結：

點評：①注意由$4\leq f(2)\leq 4$得到$f(2)=4$的結論的使用，即夾逼定理，或者理解為用不等關係給出相等關係。

②二次函式$f(x)=ax^2+bx+c(a >0)$在區間$[m，n]$上恒有$f(x)<0$成立，等價於$f(m)<0$且$f(n)<0$。

③乘積的符號法則$a\cdot b <0$等價於$a >0$且$b <0$或者$a<0$且$b>0$；

④恆成立的模型$a>f(x)$恆成立等價於$a >f(x)_$，$a< f(x)$恆成立等價於$a< f(x)_$；

⑤平方差公式的主動靈活運用。

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