對於$n$階方陣$a$，我們可以解$\lambda$的$n$次方程
$|a-\lambda e|=0$
來求$a$的特徵值。又因為在複數域內，$a$一定存在$n$個特徵值$\lambda_1,\lambda_2...\lambda_n$使上式成立。因此作為$\lambda$的$n$次多項式，$|a-\lambda e|$可以寫成：
$\begin|a-\lambda e|=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)\label{}\end$
當$\lambda=0$時，上式變為：
$|a| = \lambda_1...\lambda_n$
得出結論。
為了找到特徵值之和，首先將$(1)$式展開：
$ \begin \begin &|a-\lambda e|\\ =&(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)\\ =&\prod\limits_^n\lambda_i +\dots +\sum\limits_^n\lambda_i(-\lambda)^ +(-\lambda)^n \end \label{}\end $
我們可以發現，上式中只有倒數第二項，$\lambda$的$n-1$次項包含所有特徵值的和。
對於行列式$|a-\lambda e|$來說，我們怎樣才能獲得這一項呢？從行列式定義的角度看，計算行列式是對所有非同行同列元素之積求和，我們不可能取$n-1$個對角線元素和乙個非對角線元素來進行乘積操作，非對角線元素最少都要取二個，所以只有$|a-\lambda e|$全部對角線元素的乘積，才能獲得$\lambda$至少$n-1$次的項。將$|a-\lambda e|$展開：
$ \begin \begin &|a-\lambda e|\\ =&\dots-\sum\limits_^\sum\limits_^na_a_\prod\limits_^n(a_-\lambda)+\prod\limits_^n(a_-\lambda)\\ =&\dots-\sum\limits_^\sum\limits_^na_a_\prod\limits_^n(a_-\lambda)+ \prod\limits_^na_ +\dots +\sum\limits_^na_(-\lambda)^ +(-\lambda)^n \end \label{}\end $
將$(3)$式與$(2)$式的$\lambda^$項的引數取等：
$\displaystyle\sum\limits_^n\lambda_i(-\lambda)^ = \sum\limits_^na_(-\lambda)^$
得出結論。
特徵值 特殊矩陣的特徵值和特徵向量
特徵值與特徵向量 2 前 言 1 今天我們來討論一類特殊矩陣的特徵值和特徵向量。秩1 矩陣的性質希望同學們還沒有完全遺忘,正好通過今天的內容帶著大家複習下。2 i 雖然今天的矩陣不是抽象矩陣,但是想通過定義法求特徵值較為麻煩。這裡我們需要做乙個轉換 ax 0有非零解說明0是a的特徵值。ii 這裡我們...
Math 矩陣特徵值
特徵值問題 ax lamda x a lamda i x 0 b a lamda i 特徵值與特徵向量 將矩陣a都看做線性變換 這一點在程雲鵬的 矩陣論 中也是這麼做的 矩陣a左乘乙個向量x，就是對這個向量x做線性變換。對於向量x來說，總是存在那麼些線性變換的方法，能夠將x的方向不變化 也就是不改變...
矩陣特徵值 特徵向量 奇異值
1.特徵值與奇異值的主要區別兩者的主要區別在於 奇異值分解主要用於資料矩陣，而特徵植分解主要用於方型的相關矩陣。自相關矩陣正定時，特徵值分解是奇異值分解的特例，且實現時相對簡單些。2.定義 一矩陣a作用與一向量a，結果只相當與該向量乘以一常數 即a a a，則a為該矩陣a的特徵向量，為該矩陣a的特徵...