根據貝葉斯公式求解三門問題

本問題用到的公式

條件概率公式和乘法公式：

\[p(a|b) = \displaystyle\frac

\]$\rightarrow$

\[p(ab) = p(b)p(ab)

\]\[p(ab) = p(a)p(b|a)

\]全概率公式：

設 $a_1, a_2, ..., a_n$ 是對 $\omega$ 的乙個劃分：

\[(1) \ a_ia_j = \varnothing, i \neq j \ (2) \ \displaystyle\sum_^a_i = \omega

\]則對任何事件b有

\[p(b) = \displaystyle\sum_^p(a_i)p(b|a_i)

\]貝葉斯公式（bayes）：

設 $a_1, a_2, ..., a_n$ 是對 $\omega$ 的乙個劃分，則

\[p(a_i|b) = \displaystyle\frac^p(a_j)p(b|a_j)}, \ i = 1, 2, ..., n

\]問題描述

2023年，美國《parade展示》雜誌「ask marilyn」專欄的主持人瑪莉蓮·莎凡收到了一名讀者的提問：假設你正在參加乙個遊戲節目，你被要求在三扇門中選擇一扇。其中一扇後面有一輛汽車，其餘兩扇後面則是山羊。你選擇了一扇門，假設是一號門，然後知道門後面有什麼的主持人開啟了另一扇後面有山羊的門,假設是三號門。他然後問你: 「你想選擇二號嗎？

問題解答

這個問題根據貝葉斯公式得出的解法是相同的，但是表述會有不同，下面列舉兩個表述（我個人認為第二種表述更容易理解一些）：

表述一設 $a_i = $ ，i = 1，2，3；

$b_j = $ ，j = 1，2，3

$c = $ ，

\[p(a_1 | b_1c) = ? \ p(a_2 | b_1c) = ?

\]\[p(b_1c) = \sum_^p(a_ib_1c) = \sum_^p(a_ib_1)p(c|a_ib_1) = p(a_1b_1)p(c|a_1b_1) + p(a_2b_1)p(c|a_2b_1) + p(a_3b_1)p(c|a_3b_1) = \frac \times \frac (\frac + 1 + 0) = \frac

\]\[p(a_1|b_1c) = \frac = \frac \times \frac}} = \frac \ p(a2|b_1c) = \frac \times 1}} = \frac

\]表述二

分析：因為假定玩家選擇的是 1 號門，所以，如果 1 號門後是汽車，則主持人會隨機開啟 2、3 號門，開啟的概率都是 $\frac$;

如果 1 號門後面不是汽車，則主持人一定會開啟 2 號門或 3 號門中的一扇，概率分別為 0 和 1.

解：設事件 $a_i(i = 1, 2, 3)$ 為「第 i 扇門後有汽車」，事件 b 為「主持人開啟 3 號門」，則：

\[p(a_1) = \frac \ p(a_2) = \frac \ p(a_3) = \frac

\]易得：第 i 扇門後有汽車主持人開啟 3 號門的概率 $p(b|a_i)$:

所以 $p(b) = p(a_1)p(b|a_1) + p(a_2)p(b|a_2) + p(a_3)p(b|a_3) = \frac$,

最終想要求的結果：主持人開啟 3 號門之後第 i 號門後有汽車的概率 $p(a_i|b)$

\[p(a_1|b) = \displaystyle\frac = \displaystyle\frac \times \frac}} = \frac

\]\[p(a_2|b) = \displaystyle\frac = \displaystyle\frac \times 1}} = \frac

\]由此可知，玩家應該換一扇門。

注：我的迷惑點是為什麼主持人開啟 3 號門這樣的事情也要算概率呀，還有，為什麼就可以直接假設主持人選擇了 3 號門呀，這樣真的沒有問題嗎，我不確定，對，之前是不確定，可是在困惑了幾乎今天整整一天時，我彷彿頓悟了，選門是一定要選的，而且我現在是按照第二種描述來理解的，所以關於選門這件事情是一定要搞清楚的，選門對我來說就是這個問題的癥結所在，所謂條件概率，就是要算出作為條件的那個概率嘛。至於為什麼想通了，是因為注意到了之前的條件，就是假定玩家選擇了1號門這件事情是可以理解的，然後主持人肯定是要另外再開一扇門的嘛，那就從剩下的兩扇門中選一扇好了，選是一定要選的，在選的時候，你無論選兩扇門中的哪一扇最後算出來的 $p(b)$ 都是相同的，這就解釋了為什麼我們可以假定主持人選擇了3號門，因為這也是概率事件，至於主持人選擇的門一定是有山羊的門，那就是附帶的必然條件了。然後最後求解後驗概率當然就是要利用條件概率來球了。其實到這裡我還是理解得不是很透徹，不過，先到這裡吧，總之考試時候遇上了是肯定不虛的，至於透徹理解什麼的，以後遇到的時候說不定再想想就會更加深刻吧。

根據貝葉斯公式求解三門問題

貝葉斯公式

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