若將螺旋看做是直線運動與圓周運動的疊加,每個旋轉週期,直線上移動相同的距離,這樣得到的螺旋曲線可以統稱為等距螺旋。
【風螺旋的由來】
風螺旋是國際民航組織doc8168規範中提到的,在飛行程式設計中使用的一種螺旋狀曲線,用來描述航空器轉彎過程中受風的影響而形成的最大的轉彎外邊界。
按照等距螺旋的運動形式進行分析,可以發現,風螺旋是直線運動與圓周運動相交的情況下,所產生的一種螺旋曲線。
圖1. 風螺旋線
(注:飛行程式設計中僅使用風螺旋在圓周以外的部分。)
若將圓周運動的速度用v來表示,直線運動的速度用w來表示,直線距圓心的距離用d來表示,圓周的半徑用r來表示,那麼風螺旋對速度的要求是:
w/v = d/r
圖1中 w/v等於0.6 ,圓的半徑為50,故d(高度)為30。
【對稱特性】
順時針外擴的螺旋與逆時針外擴的螺旋,可以構成一條完整的螺旋曲線。風螺旋也不例外,「完整」的風螺旋是下面的樣子:
圖2. 完整的風螺旋
從上面的圖形可以看到,直線運動與圓周運動相交,同樣可以產生出對稱的螺旋狀曲線,對稱軸在圖2中是過圓心與初始位置的直線相垂直的直徑。
風螺旋的位置關係更具普遍性,它恰好是介於漸開線與阿基公尺德螺旋之間的一種形態,但風螺旋的數學定義更為嚴格,對運動的方向也有特定的要求。
【互補特性】
當圓周運動的旋轉方向改變時,同樣的直線運動可以產生不同的螺旋軌跡,這樣的兩種軌跡在對稱軸的位置精確相切,形成互補的兩條螺旋。
圖3. 互補的風螺旋
由於互補出來的螺旋的形態及數學特徵與風螺旋已經完全不一樣了,因此,風螺旋的互補螺旋不能再稱為風螺旋。
漸開線螺旋的互補螺旋同樣也不能再被視為漸開線。
圖4. 互補的漸開線螺旋
阿基公尺德螺旋由於它特殊的圓心位置,所以它的互補螺旋仍是阿基公尺德螺旋,並且樣子完全相同。
圖5. 互補的阿基公尺德螺旋
【公式分析】
風螺旋中的角度關係如下圖所示:
另乙個方向的角度關係如下圖所示:
以上兩種角度關係按照餘弦定理進行推導,分別對應下面的公式二與公式三:
飛行程式設計中所採用的風螺旋,包含的計算條件有:直線運動的速度w不大於圓周運動的速度v,運動方向相逆(夾角大於90°),二者的速度之比等於直線距圓心的距離d與圓周半徑r之比。若用da來表示兩種運動之間的夾角,則sinda=w/v=d/r 。
風螺旋的公式中,w與v並不單獨出現,而是以「比值」的形式存在。也就是說螺旋線的形態與速度比有關,與是否是勻速直線運動無關。若直線速度與圓周速度同時增大兩倍,由於速度比不變,所以螺旋的形狀也不會變。
阿基公尺德螺旋對速度比無特定要求,但要求直線必須過圓心。從公式來看,當da角為零度時,直線過圓心,公式可以化簡為:
與常規的阿基公尺德螺旋極座標公式 ρ=a*
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