首先介紹一下反饋頂點集的定義：
設頂點集合f，使得把這些頂點移除後，圖中無圈（圈和環的定義類似）。如下圖中，反饋頂點集可以為或或等等。
現在來引入問題：
像上圖中，和即為最小費用子集，即最優解
下面來介紹圖的乙個概念——圖g中簡單圈c的特徵向量，舉個例子會比較清晰
圖g的圈數cyc(g)——是指圈空間的維數，而圈空間是由圖g中的所有簡單圈的特徵向量生成，而cycle123和cycle3456是簡單圈，cycle12456是複雜圈，除了第乙個頂點和最後乙個頂點相同外，其餘頂點不重複出現的迴路叫簡單迴路這個還是比較好理解的
圖g的連通分支數comps(g)——連通分支的概念和極大連通子圖類似，也就是極大連通子圖的數目
介紹完所需要的概念後，引入乙個定理：
先上例子：
要證上等式，只需證明|e| - |v| + k(g)<=cyc(g)<=|e| - |v| + k（g）即可
由於證明過於複雜難懂，詳見《近似演算法》第49-50頁
這裡的思路**
1. 證明|e| - |v| + k(g)<=cyc(g)
g是乙個連通圖，任取t是g上的乙個生成樹，我們定義t-基礎圈為一條非樹邊和樹邊構成的簡單圈（在生成樹的基礎上任意再引入一條非樹邊都會得到乙個簡單圈）所以我們一共能得到|e|-|v|+1個t-基礎圈（樹邊有|v|-1個），並且這些圈是線性無關的（很顯然，因為他們都獨佔乙個非樹邊），既然都是圈，那麼它們一定是g上整個圈空間的子集，他們也一定生成了乙個子空間，因此cyc(g) ≥ |e|−|v|+1
2. 證明cyc(g)<=|e| - |v| + k(g)
首先說明乙個事實：對於生成樹t，每條樹邊t都能對應乙個僅僅包含這一條樹邊和其它一些非樹邊的割（也可以對應多個，只要樹邊唯一確定即可）。這個可以想想到，乙個割只需要和一條樹邊相交就能把樹切斷，且樹把圖劃分成的區域都是與外界相連的。既然每個割都是有乙個獨佔的樹邊，那他們之間就是線性無關的，所以用割邊就能生成乙個|v|-1維割空間
在得到上面的等式後，我們設 δg(v)是刪除頂點v後圖的圈數的減少量
由於刪除反饋頂點集f後g的圈數變為0了，所以可以得到下面這個等式
根據下面的引理（證明參考《近似演算法》第50頁）
可得
設存在常數c使得每個頂點v的權是c*δg(v)，權函式為w，則根據上面的不等式我們可以得到：
設deg(v)表示g中v的度，comps(g-v)表示從g中刪除v後形成的連通分支數，可得：
最終我們得出：
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