0 1揹包問題從暴力到一維vector的優化

0-1揹包問題

分析：同樣，若沒有思路可以考慮暴力迴圈的方法，即先找到多少種情況（2n），再每一種情況是否符合要求並求價值，求取最大值，o（（2n）*n）。

若進一步考慮，可定義表示式：f(n，c),意思為將n個物品裝入容量為c的揹包中，能取得的最大值。如下圖所示，採用遞迴的方式可以避免暴力。對於第n個物品，可以有兩種取法，取（1）或不取（0），當取的時候，則最大值為v(n)+f(n-1,c-wn)，即將n-1個物品裝入c-wn的容量中，所能得到的最大價值；當不取的時候，則為f(n-1,c)，因為沒取n，故容量不變。那麼，若採取遞迴計算的話，實際上每層求max(v(n)+f(n-1,c-wn)，f(n-1,c))，並返回給最上層即可。

// 遞迴法解決0-1揹包問題

class solution

};int main()

; vectorvalue = ;

solution s;

cout<

return 0;

}可採用記憶化搜尋對氣優化

#include "pch.h"
#include #include #include using namespace std;
// 遞迴法解決0-1揹包問題
class solution
};int main()
;	vectorvalue = ;
// 3、
vector> memo(weight.size(), vector(6, 0));
solution s;
cout<
return 0;
}

進一步，由於該遞迴中存在最優子結構，故可從下到上採用動態規劃的辦法。可參考機器走路問題82。不過本題中二維條件不夠明顯，需進一步分析。首先，題中要求，n個物品最多可裝入容量為c的揹包的最大價值，寫成表示式為f(n,c)，那麼這是乙個二維函式，將82中的豎座標當作n，橫座標當作容量c，那麼f(i，ci)代表前i個物品裝入ci揹包中能得到的最大價值。。接下來需要找狀態轉移方程，由於揹包可裝可不裝，那就分情況討論，若i裝，則f(i，ci) = vi+f(i-1,ci-wi):即第i個物品的價值，加上，前i-1個物品裝入ci-wi揹包中的最大價值。若i不裝入，則f(i，ci) = f(i-1,ci):即前i-1個物品裝入ci揹包中的最大價值。故狀態轉移方程為f(i，ci) = max(vi+f(i-1,ci-wi),f(i-1,ci))。

#include "pch.h"
#include #include #include using namespace std;
// 動態規劃解決0-1揹包
int main()
;   // 物品重量
vectorvalue = ; // 物品價值
// 當成二維圖形，橫座標為容量，縱座標為物品
int c = 5;
vector> dp(weight.size(), vector(c+1, 0));
// 第一列不用賦初值，因為第一列的容量都為0，故不可能放入物品
// 先將第一行賦初值
for (int i = 0; i <= 5; i++)  
for (int i = 1; i < weight.size(); i++)		}
cout << dp[weight.size()-1][5];
return 0;
}

動態規劃的優化基本上均是盡可能降低空間複雜度。通常是二維變一維，一維變變數。

1、從上述迴圈中可以看到，每次迴圈只用到了兩行資料，故可用求餘進行處理。

2、再進一步分析，可從右向左進行重新整理，這樣只儲存一行資料就可不斷求得值

// 1、變為兩行陣列
// 動態規劃解決0-1揹包
int main()
;   // 物品重量
vectorvalue = ; // 物品價值
// 當成二維圖形，橫座標為容量，縱座標為物品
int c = 5;
// 優化1、
vector> dp(2, vector(c+1, 0));
// 第一列不用賦初值，因為第一列的容量都為0，故不可能放入物品
// 先將第一行賦初值
for (int i = 0; i <= 5; i++)  
for (int i = 1; i < weight.size(); i++)		}
// 優化3、
cout << dp[(weight.size()-1) % 2][5];
return 0;
}

// 動態規劃解決0-1揹包
int main()
;   // 物品重量
vectorvalue = ; // 物品價值
// 當成二維圖形，橫座標為容量，縱座標為物品
int c = 5;
// 優化1、
vectordp(c+1, 0);
for (int i = 0; i <= 5; i++)  
for (int i = 1; i < weight.size(); i++)		}
// 優化3、
cout << dp[c];
return 0;
}

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