基礎資料結構之二叉堆

二叉堆一般用於涉及插入、刪除、查詢最值得題目。往往配合其它題型使用。

對頂堆

對頂堆常用於動態維護的問題。

動態中位數

動態求解前i個數的中位數。

黑盒子

動態求解前u[i]個數第i大的數。超市

貪心題目。需要用到二叉堆的查詢最值、插入和刪除功能。序列

多路歸併問題。注意到是求和問題，題目讓求m個序列「合併」得到的n個值，如果我們得到了前m - 1個序列「合併」n個值，那麼只需要把這n個值看成乙個新的序列，轉換成兩個序列「合併」成n個值的問題。很明顯用遞迴或遞推都可以。我們只需要解決如何「合併」兩個序列即可。

兩個序列如何合併呢？

a : a1 a2 a3 a4 …… an（a已經排好序）

b : b1 b2 b3 b4 …… bn

我們把那n ^ 2的序列寫成如下形式 :

b1 + a1 b1 + a2 b1 + a3 …… b1 + an

b2 + a1 b2 + a2 b2 + a3 …… b2 + an

……bn + a1 bn + a2 bn + a3 …… bn + an

我們得到了n個排好序的含有n個數的序列。

把n個序列的第乙個數儲存到乙個資料結構a中，那麼這n ^ 2個數中最小的那個數一定在a中。假設是b2 + a1，取出b2 + a1後，再把b2 + a2放入資料結構中。如此反覆，直到得到前n個數為止。

我們發現，該資料結構涉及到插入、刪除和查詢最值的操作，很明顯用二叉堆。

構造乙個帶有n個葉節點的k叉樹。每個節點都有權值wi和到根節點的距離li，該樹要求sum(wi * li)最小。這樣的樹稱為哈夫曼樹。

合併果子

畫圖可知，該問題等價於要求乙個帶有n個葉節點的二叉樹。每次合併兩堆的重量之和等價於這兩堆的葉節點的權值又被加了一次。於是該問題可以轉換為哈夫曼樹問題。

荷馬史詩

該編碼方式其實就是哈夫曼編碼。題目有要求：如何選擇 si，才能使替換以後得到的新的《荷馬史詩》長度最小。《荷馬史詩》的長度等於替換後的單詞的編碼長度乘以出現次數，很明顯是個哈夫曼樹。把每個單詞看作葉節點，葉節點的權值是出現次數。將這些葉節點合併為k叉哈夫曼樹。

題目有乙個要求：對於任意的 1≤i,j≤n，i≠j，都有：si 不是 sj 的字首。我們可以聯想到trie樹。對於trie樹而言，從根節點到葉節點的字串不會是任何乙個字串的字首。

因此把該哈夫曼樹看成trie樹，節點的每個分支依次標記為0 ~ k - 1，就可以得到每個單詞的編碼。

題目還有乙個要求：在確保總長度最小的情況下，達達還想知道最長的 si 的最短長度是多少？我們只需要在合併權值相同的節點時，優先選擇深度最小的節點即可。