luogu p1990 覆蓋牆壁

2021-10-19 04:22:06 字數 3346 閱讀 4595

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你有乙個長為n寬為2的牆壁，給你兩種磚頭：乙個長2寬1，另乙個是l型覆蓋3個單元的磚頭。如下圖：

0 0 


0 00
磚頭可以旋轉，兩種磚頭可以無限制提供。你的任務是計算用這兩種來覆蓋n*2的牆壁的覆蓋方法。例如乙個2*3的牆可以有5種覆蓋方法，如下：

012 002 011 001 011 


012 112 022 011 001
注意可以使用兩種磚頭混合起來覆蓋，如2*4的牆可以這樣覆蓋：

0112 


0012
給定n，要求計算2*n的牆壁的覆蓋方法。由於結果很大，所以只要求輸出最後4位。例如2*13的覆蓋方法為13465,只需輸出3465即可。如果答案少於4位，就直接輸出就可以，不用加0，如n=3，時輸出5。

乙個整數n(1<=n<=1000000)，表示牆壁的長。

輸出覆蓋方法的最後4位，如果不足4位就輸出整個答案。

13
3465
此題不用多說，動態規劃。但是這道題還是比較難講的，參考了一下題解才想出來一種比較易懂的講解？qaq233

設\(f_i\)為\(2\times i\)尺寸牆壁的恰好覆蓋方法。我們規定，\(f_0 = 1\)！！

來看\(n = 4\)的情況⑧，現在乙個都沒填充：

0000


0000
首先不考慮l形瓷磚。

如果瓷磚的最後兩格橫著鋪上了一形瓷磚，也就是這樣：

0001


0001
此時的方法數就是除去最後一列的子問題，也就是\(f_\)。

還有一種情況是瓷磚的最後四個豎著鋪上了一形瓷磚，也就是這樣：

0011


0022
注意哈是橫著鋪。豎著鋪的情況已經相當於第一種了。方法數是除去最後兩列的子問題，也就是\(f_\)。

答案就是兩種情況的綜合，也就是\(f_i = f_ + f_\)。

現在一字型瓷磚已經被我們討論完了，再來討論l形瓷磚。

此時再設乙個陣列，設\(g_i\)為既要覆蓋上\(2\times i\)尺寸牆壁，也要恰好多出一塊的覆蓋方法。規定\(g_0 = 0\)哦！

先在最後鋪乙個：

0001


0011
然後反向思維，不看鋪上的瓷磚，看空地。此時先補上前\(n - 2\)列的牆壁，然後再補多出的乙個。也就是說，這種情況的方案數是\(g_\)。

但是l形瓷磚可以反過來使用，也就是這樣：

0011


0001
此時的方案數仍然是\(g_\)，所以實際上我們要統計兩次\(g_\)。

但是\(g\)陣列我們怎麼進行乙個維護呢？首先對於突出乙個方塊的，我們有兩種方法覆蓋。

第一種：再補乙個l，補成長方形：

0221


0211
當然

0211


0221
也是一樣的道理。

此時的方法數顯然就是\(f_\)辣。

第二種：繼續補長方形，仍然多出一塊

0221


0011
雖然這看著非常難受，強迫症甚至可以為此砸掉電腦，但是這種情況完全有可能啊！(哭)

這種情況下仍然還需要\(g\)陣列，不過相當於又填補了一列(雖然剛剛實際上是填補了乙個橫向的，但是把剛剛少的那一塊填上了兩塊，現在又多出了一塊，整體還是多了一列的，自己看看圖就知道了)。

這種情況的方案數是\(g_\)。

也就是說，\(g_ = f_ + g_\)，也就等同於\(g_n = f_ + g_\)。

總結：\[\begin f_n = f_ + f_ + 2 \times g_ \\ g_n = f_ + g_ \end \]

這是兩個陣列的遞推式結果。其實本題到這裡本應該結束的，但是我們難道就不能壓成乙個陣列了嗎？

看\(g_n\)的遞推式。

\[g_n = f_ + g_\\ g_n = f_ + f_ + g_\\ g_n = f_ + f_ + f_ + \ldots + f_1 + f_0\\ g_n = \sum_ ^ f_i = \sum_ ^ + 1 \]

原式等同於：

\[f_n = f_ + f_ + 2 \times \sum_ ^ f_i + 2 \]

然後讓我施展一點魔法……讓\(n \rightarrow n - 1\)

這樣就可以得到：

\[f_ = f_ + f_ + 2\times \sum_ ^ f_i + 2 \]

對比這兩個式子：

\[f_n = f_ + f_ + 2 \times \sum_ ^ f_i + 2 \\ f_ = f_ + f_ + 2\times \sum_ ^ f_i + 2 \]

上式減下式，得到：

\[f_n - f_ = f_ + f_ + 2 \times \sum_ ^ f_i + 2 - (f_ + f_ + 2\times \sum_ ^ f_i + 2) \]

將等號右邊的式子整理一下，

\[f_n - f_ = f_ + f_ \]

然後把左邊的\(- f_\)移項，得到最終的遞推式：

\[f_n = 2 \times f_ + f_ \]

邊界條件：

\[f_1 = 1\\ f_2 = 2\\ f_3 = 5 \]

推出了式子以後，**就很好寫了。

/*


* @author: crab-in-the-northeast 


* @date: 2020-04-14 22:11:54 


* @last modified by: crab-in-the-northeast


* @last modified time: 2020-04-15 15:19:02


*/#include #include const int maxn = 1000005;


const int mod = 10000;


int dp[maxn] = ;


int main() 


for(int i = 4; i <= n; i++)


dp[i] = (dp[i - 1] * 2 % mod + dp[i - 3] % mod) % mod;


std :: cout << dp[n] << std :: endl;


return 0;


}
ac 100：r32801187

洛谷 1990 覆蓋牆壁 遞推

題目描述 你有乙個長為n寬為2的牆壁，給你兩種磚頭 乙個長2寬1，另乙個是l型覆蓋3個單元的磚頭。如下圖 0 00 00 磚頭可以旋轉，兩種磚頭可以無限制提供。你的任務是計算用這兩種來覆蓋n2的牆壁的覆蓋方法。例如乙個23的牆可以有5種覆蓋方法，如下 012 002 011 001 011 012 ...

洛谷 P1990 覆蓋牆壁

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你有乙個長為n寬為2的牆壁，給你兩種磚頭 乙個長2寬1，另乙個是l型覆蓋3個單元的磚頭。如下圖 0 0 0 00 磚頭可以旋轉，兩種磚頭可以無限制提供。你的任務是計算用這兩種來覆蓋n 2的牆壁的覆蓋方法。例如乙個2 3的牆可以有5種覆蓋方法，如下 012 002 011 001 011 012 11...