網路流有上下界的最大流

有上下界的含義：每條管道的流量必須在範圍 [l,r] 內，即在普通最大流問題上增加了下界限制。

主要分為無源點匯點和有源點匯點兩類問題。

此類問題一般為：給n個點，及m根pipe，每根pipe是用來流淌液體的，單向的，每時每刻每根pipe流進來的物質要等於流出去的物質，要使得m條pipe組成乙個迴圈體，裡面流淌物質。並且滿足每根pipe一定的流量限制，範圍為[li,ri].即要滿足每時刻流進來的不能超過ri(最大流問題)，同時最小不能低於li。

解決：普通的最大流可以視作下界為0，上界為容量。所以此時讓所有管道的下界變為0，上界變為r-l。但是這樣的話流量不守恆（流入的不等於流出的），需要更改建圖方法，尋找附加流來滿足守恆。

此時新增超級源點s和匯點t，定義du[maxn]來記錄每個節點的流量情況。

du[i] = in[i] (i節點所有入流下界之和) - out[i] (i節點所有出流下界之和).

當du[i]大於0時，從 s 到 i 連一條流量為du[i]的邊；

當du[i]小於0時，從 i 到 t 連一條流量為-du[i]的邊；

最後對（s，t）求最大流即可，求出的最大流為附加最大流，此時每條管道的實際流量還要加上之前為了改造而修改的下界l。

當附加流最大流==所有的du>0之和時，有可行解(可行流)（可以使流量守恆）。

例題：reactor cooling(sgu-194)

//dinic
#include
#define
lllong
long
#define
iosstd::ios::
sync_with_stdio
(false
);cin.
tie(0)
;cout.
tie(0)
;#define
debug
cout<<
",here\n";#
define
maxn
250using
namespace std;
struct
edge
};edge a[maxn]
[maxn]
;vectorlink[maxn]
;vector
>pipe;
ll ceng[maxn]
;//注意dn記錄每條邊的下界資訊,不能用點的maxn,不然會陣列太小
ll du[maxn]
,dn[maxn*maxn*2]
;ll n,m,s,t,u,v,l,c,maxn,ans=0;
ll bfs()
//最大流:構建層級網路,一次bfs就行了,很簡單}}
if(ceng[t]
)return1;
//最大流:能構建,繼續之後的dfs
return0;
//最大流:不能構建更多了,沒有更多的增廣路了
}//最大流:有當前弧優化
ll dfs
(ll now,ll minflow)
ll ret=
0,minflow2;
for(
auto
& i:link[now])}
return ret;
//最大流:返回從這個節點開始之後找到的所有增廣路的流量之和
}int
main()
);}    s=
0;t=n+1;
ll totdu=0;
for(ll i=
1;i<=n;i++
)else
if(du[i]
<0)
if(du[i]
>
0)totdu+=du[i]
;//用於判斷是否有可行解
}while
(bfs()
)if(ans!=totdu)
else
}return0;
}

源點 s ，匯點 t 。

同樣，因為有下界，所以先判斷是否有可行流，可參考無源匯點的可行流判斷。但有源匯點如何轉化為無源匯的迴圈流圖？增設一條從 t 到 s 沒有下界且容量為無窮的邊即可。之後再新增超級源匯點ss和tt，和無源匯點一樣判斷可行流。

當有可行流時，再原封不動地以 s，t 為源匯點跑一次最大流，結果即為最終答案。

有源匯上下界最大流只需要求解可行流並判斷可行後，原封不動地進行一次最大流，這個最大流就是答案(不用再加之前的可行流流量)。因為超級源匯的邊全部滿流不會影響，而原可行流流量全部在t-s的反向邊上，跑最大流時剛好會算進去，這樣跑出來的最大流就是最終答案。

例題：【模板】有源匯上下界最大流

//dinic
#include
#define
lllong
long
#define
iosstd::ios::
sync_with_stdio
(false
);cin.
tie(0)
;cout.
tie(0)
;#define
debug
cout<<
",here\n";#
define
maxn
1505
using
namespace std;
struct
edge
};edge a[maxn]
[maxn]
;vectorlink[maxn]
;ll ceng[maxn]
;//無源匯:注意dn記錄每條邊的下界資訊,不能用點的maxn,不然會陣列太小
ll du[maxn]
;ll g,c,d;
ll n,m,u,v,ans=0;
const ll inf=
2147483648
;struct
dinic
ll bfs()
//最大流:構建層級網路,一次bfs就行了,很簡單}}
if(ceng[t]
)return1;
//最大流:能構建,繼續之後的dfs
return0;
//最大流:不能構建更多了,沒有更多的增廣路了
}//最大流:有當前弧優化
ll dfs
(ll now,ll minflow)
ll ret=
0,minflow2;
for(
auto
& i:link[now])}
return ret;
//最大流:返回從這個節點開始之後找到的所有增廣路的流量之和
}    ll maxflow
(ll s,ll t,ll minflow)
return tmp;}}
;dinic solver;
intmain()
}/*例題特殊建圖,不具代表性*/
for(ll i=
1;i<=m;i++
)for
(ll i=
1;i<=n;i++)}
/**/
solver.
addedge
(t,s,inf)
;//新增t到s的無窮容量邊
ll totdu=0;
for(ll i=
1;i<=t;i++
)else
if(du[i]
<0)
if(du[i]
>
0)totdu+=du[i]
;//無源匯:用於判斷是否有可行解
}        ans=solver.
maxflow
(ss,tt,inf);if
(ans!=totdu)
else
}return0;
}

參考:

有上下界的網路流學習筆記

網路流各種題型應用及解決方法

網路流 有上下界的最大流

有上下界網路流

上下界 最大流

有上下界的網路流

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