演算法筆記 6 匈牙利演算法

今天我們來看乙個沒有前幾篇講的那麼常用，但是很有用的演算法：匈牙利演算法（hungarian algorithm）。匈牙利演算法主要用於解決一些與二分圖匹配**有關的問題，所以我們先來了解一下二分圖。

二分圖（bipartite graph）是一類特殊的圖，它可以被劃分為兩個部分，每個部分內的點互不相連。下圖是典型的二分圖。

可以看到，在上面的二分圖中，每條邊的端點都分別處於點集x和y中。匈牙利演算法主要用來解決兩個問題：求二分圖的最大匹配數和最小點覆蓋數。

這麼說起來過於抽象了，我們現在從實際問題出發。

看完上面講的，相信讀者會覺得雲裡霧裡的：這是啥？這有啥用？所以我們把這張二分圖稍微做點手腳，變成下面這樣：

現在boys和girls分別是兩個點集，裡面的點分別是男生和女生，邊表示他們之間存在「曖昧關係"。最大匹配問題相當於，假如你是紅娘，可以撮合任何一對有曖昧關係的男女，那麼你最多能成全多少對情侶？（數學表述：在二分圖中最多能找到多少條沒有公共端點的邊）

現在我們來看看匈牙利演算法是怎麼運作的：

我們從b1看起（男女平等，從女生這邊看起也是可以的），他與g2有曖昧，那我們就先暫時把他與g2連線（注意這時只是你作為乙個紅娘在紙上構想，你沒有真正行動，此時的安排都是暫時的）

來看b2，b2也喜歡g2，這時g2已經「名花有主」了（雖然只是我們設想的），那怎麼辦呢？我們倒回去看g2目前被安排的男友，是b1，b1有沒有別的選項呢？有，g4，g4還沒有被安排，那我們就給b1安排上g4。

然後b3，b3直接配上g1就好了，這沒什麼問題。至於b4，他只鍾情於g4，g4目前配的是b1。b1除了g4還可以選g2，但是呢，如果b1選了g2，g2的原配b2就沒得選了。我們繞了一大圈，發現b4只能注定單身了，可憐。（其實從來沒被考慮過的g3更可憐）

這就是匈牙利演算法的流程，至於具體實現，我們來看看**：

public
class
arithmetic6,,
,,,}
;        hungarian hungarian =
newhungarian
(map)
;int hungarian1 = hungarian.
hungarian()
;        system.out.
println
(hungarian1);}
static
class
hungarian
boolean
match
(int i,
int b)
}else}}
return
false;}
public
inthungarian()
}return cnt;}}
}

其實流程跟我們上面描述的是一致的。注意這裡使用了乙個遞迴的技巧，我們不斷往下遞迴，嘗試尋找合適的匹配。

另外乙個關於二分圖的問題是求最小點覆蓋：我們想找到最少的一些點，使二分圖所有的邊都至少有乙個端點在這些點之中。倒過來說就是，刪除包含這些點的邊，可以刪掉所有邊。

這為什麼用匈牙利演算法可以解決呢？你如果以為我要長篇大論很久就錯了，我們只需要乙個定理：

（könig定理）

乙個二分圖中的最大匹配數等於這個圖中的最小點覆蓋數

好了，本節可以結束了，我們不是搞數學的，不需要證明（有興趣的話可以參考這篇部落格，雖然愚昧的我並沒看懂）。但是提供乙個直觀地找最小覆蓋點集的方法：看上節最後一張圖（或題圖），從左側乙個未匹配成功的點出發，走一趟匈牙利演算法的流程（即紫色的箭頭），所有左側未經過的點，和右側經過的點，即組成最小點覆蓋。（即圖中的b3、g2、g4）

--------------也希望大家給我點支援，謝謝各位大佬了！！！--------------

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