2005-10-31
什麼是洛必達法則,用它求極限就是求導嗎?
我們知道,在求極限時,常會遇到兩個無窮小之比的極限或兩個無窮大之比的極限。這些極限有的存在,有的不存在。通常稱這類極限為"未定式"。利用第一章的方法求未定式的極限通常是困難的,本節介紹一種簡單而有效的方法——洛必達(l'hospital)法則。
1。型未定式的極限求法
若當()時,與均趨於0,則稱相應的極限為型未定式。
洛必達法則i 若與滿足:
(1) ,;
(2) 在點的某去心鄰域內,與均存在,且;
(3) 存在(或為),
則有(1)
法則i的證明從略。
注 法則i是對時的型未定式給出的,對於()時的型未定式同樣適應。
例1 求下列極限:
(1) ; (2) 。
解 (1) 該...全部
我們知道,在求極限時,常會遇到兩個無窮小之比的極限或兩個無窮大之比的極限。這些極限有的存在,有的不存在。通常稱這類極限為"未定式"。利用第一章的方法求未定式的極限通常是困難的,本節介紹一種簡單而有效的方法——洛必達(l'hospital)法則。
1。型未定式的極限求法
若當()時,與均趨於0,則稱相應的極限為型未定式。
洛必達法則i 若與滿足:
(1) ,;
(2) 在點的某去心鄰域內,與均存在,且;
(3) 存在(或為),
則有(1)
法則i的證明從略。
注 法則i是對時的型未定式給出的,對於()時的型未定式同樣適應。
例1 求下列極限:
(1) ; (2) 。
解 (1) 該極限為型,故
(2) 由於時,,故此極限為型。因此
在利用洛必達法則求極限時,若仍為型未定式,且函式與滿足法則i的條件,則可再使用該法則。但在連續應用洛必達法則時,應注意每一步檢驗是否仍為未定式,不是未定式時不能再用該法則。
例2 求。
解在利用洛必達法則求極限時,還要注意盡量將式子化簡以利於求導。
例3 求極限
(1) ; (2) 。
解 (1) 原式
(2) 原式。
2。型未定式的極限求法
若當()時,與均趨於,則稱相應的極限為型未定式。
洛必達法則ii 若與滿足:
(1) ,;
(2) 在點的某去心鄰域內,與均存在,且;
(3) 存在(或為),
則有注 法則ii對於()時的型未定式同樣適應。
例4 求極限。
解 原式。
例5 設,求。
解 當時,對數函式於冪函式()均為增函式且趨於。原極限為型未定式。
由例5可知,當時,對數函式的增長速度比冪函式慢。
例6 設,求。
解 由於,指數函式和冪函式當時均為增函式,且當時均趨於。
故由例6可知,當時,指數函式的增長速度比冪函式快。
在使用洛必達法則求未定式極限時,必須注意乙個問題:當不存在時,不一定不存在。
例7 求。
解 此極限為型未定式。若用洛必達法則,則得極限
由於為週期函式,上式的極限不存在,也不為。但是
即原極限存在。
一般當用洛必達法則求不出未定式的極限時,要想其他辦法求極限。
某些極限可以先化為型或型未定式,再用洛必達法則求極限。
3。型和型未定式
例8 求下列極限:
(1) ; (2) 。
解 (1)這是型未定式,將其變形為
則當時視為型未定式,因此
(2) 這是型未定式,可先通分化為型,再求極限。
例9 求極限:
(1) ; (2) 。
解 (1) 原式。
(2) 原式
=3。*4。型未定式
例10 求下列極限:
(1) ; (2) 。
解 (1) 這是型未定式,將其變形為
則當時視為型未定式,因此
(2) 這是型未定式,可先通分化為型,再求極限。
例11 求極限
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) 。
解 (1) 原式
注。(2) 原式=
==1。
(3) 原式=1。
(4) 原式。
。收起
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