匈牙利演算法

匈牙利演算法(hungarian algorithm)是一種組合優化演算法(combinatorial optimization algorithm)，用於求解指派問題(assignment problem)，演算法時間複雜度為o(n^3)。harold kuhn發表於2023年，由於該演算法基於兩位匈牙利數學家的早期研究成果，所以被稱作「匈牙利演算法」。

例如有四個任務(j1, j2, j3, j4) 需要四個工人(w1, w2, w3, w4)去完成，每個工人需要完成一項任務，並且他們完成任務所需的時間是不一樣的，下面的矩陣表示每個工人完成任務所需的時間，目標是找到乙個花費時間最少的安排方案。

step 1：對於矩陣每行，減去該行最小的乙個數

例如矩陣第一行最小的元素為69，因此第一行每個元素都減去69，最後得到的矩陣如下。

step 2：對於矩陣每列，減去該列最小的乙個數

與上一步上次，不過這步針對的是列，得到的矩陣如下。

step 3：用最少的橫線或豎線覆蓋所有0元素

使用最少的直線（橫線或豎線）覆蓋矩陣中所有的0元素，上述矩陣最少可以使用三條直線覆蓋，如下圖所示。

因為最少需要的直線數目為3，小於矩陣的size，所以進行第四步。

step 4：用最少的橫線或豎線覆蓋所有0元素

首先，我們找到未覆蓋元素中最小的數為6。然後，對於每個未覆蓋的元素都減去這個數，對於每個覆蓋了兩次的元素加上這個數，得到如下的矩陣。

接著，返回step3。

step 5：用最少的橫線或豎線覆蓋所有0元素

再次使用最少的直線（橫線或豎線）覆蓋矩陣中所有的0元素，此時矩陣最少需要4條直線進行覆蓋，如下圖所示。

因為需要直線的數量（4）等於矩陣的size（4），乙個最優的匹配方案就出現了，演算法結束。

最優的匹配方案

下面為最優的安排方案（找到四個0並且它們分布在不同行和列）：

最優安排對應的原始矩陣如下：

這樣，工人1完成任務3，工人2完成任務2，工人3完成任務1，工人4完成任務4。整體的時間花費為69 + 37 + 11 + 23 = 140。

匈牙利演算法

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