用叉乘求法向量.doc
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平面法向量的求法及其應用
平面的法向量
1、定義：如果，那麼向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類(從方向上分)，無數條。
2、平面法向量的求法
方法一(內積法):在給定的空間直角座標系中，設平面的法向量[或，或]，在平面內任找兩個不共線的向量。由，得且，由此得到關於的方程組，解此方程組即可得到。
方法二：任何乙個的一次次方程的圖形是平面；反之，任何乙個平面的方程是的一次方程。 ，稱為平面的一般方程。其法向量;若平面與3個座標軸的交點為,如圖所示,則平面方程為:,稱此方程為平面的截距式方程，把它化為一般式即可求出它的法向量。
圖1-1c1cbyfadxa1d1zb1e方法三(外積法): 設 , 為空間中兩個不平行的非零向量，其外積為一長度等於，(θ為,兩者交角，且)，而與 , 皆垂直的向量。通常我們採取「右手定則」，也就是右手四指由 的方向轉為 的方向時，大拇指所指的方向規定為的方向,。
圖1-1c1c
byfa
dxa1d1zb1
e(注：1、二階行列式: ；2、適合右手定則。)
已知，，
試求(1)：(2)：
key: (1) ;
例2、如圖1-1,在稜長為2的正方體中，
圖2-1-1αbac求平面aef的乙個法向量
圖2-1-1ba
cabab
圖2-1-2
c求空間角
(1)、求線面角：如圖2-1，設是平面的法向量，
ab是平面的一條斜線，，則ab與平面
所成的角為：
圖2-1-1:
圖2-1-2:
α圖2-3ββα圖2-2(2)、求面面角:設向量，分別是平面、的法向量，則二面角的平面角為：
圖2-3
圖2-2
(圖2-2);
(圖2-3)
兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等於二面角的平面角。約定，在圖2-2中，的方向對平面而言向外，的方向對平面而言向內；在圖2-3中，的方向對平面而言向內，的方向對平面而言向內。我們只要用兩個向量的向量積(簡稱「外積」，滿足「右手定則」)使得兩個半平面的法向量乙個向內乙個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面角的平面角。
求空間距離
(1)、異面直線之間距離:
方法指導：如圖2-4,①作直線a、b的方向向量、，
圖2-4nabab求a、b的法向量，即此異面直線
圖2-4na
bab②在直線a、b上各取一點a、b，作向量；
③求向量在上的射影d，則異面直線a、b間的距離為
圖2-5aαm
圖2-5am
bno(2)、點到平面的距離:
方法指導：如圖2-5,若點b為平面α外一點，點a
aabα圖2-6為平面α內任一點，平面的法向量為aa
b圖2-6
平面α的距離公式為
(3)、直線與平面間的距離:
圖2-7αβab方法指導：如圖2-6,直線
圖2-7ab
，其中。是平面的法向量
(4)、平面與平面間的距離:
圖2-8αa方法指導：如圖2-7,兩平行平面
圖2-8
a，其中。是平面、的法向量。
圖2-9α
圖2-9
a圖2-10βα(1)、證明線面垂直：在圖2-8中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線()。
圖2-10
(2)、證明線面平行：在圖2-9中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直()。
圖2-11αβ(3)、證明面面垂直：在圖2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量垂直()
圖2-11
(4)、證明面面平行：在圖2-11中, 向是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量共線()。
圖3-1c
圖3-1cd
mapb
1、(2005全國i，18)(本大題滿分12分)
已知如圖3-1,四稜錐p-abcd的底面為直角梯形，ab∥dc，底面abcd，且pa=ad=dc=ab=1，m是pb的中點
(ⅰ)證明：面pad⊥面pcd；
(ⅱ)求ac與pb所成的角；
(ⅲ)求面amc與面bmc所成二面角的大小
解:以a點為原點,以分別以ad，ab，ap為x軸，y軸，z軸，建立空間直角座標系a-xyz如圖所示.
，，設平面pad的法向量為
，，設平面pcd的法向量為
，，即平面pad平面pcd。
，，設平在amc的法向量為.
又,設平面pcd的法向量為.
面amc與面bmc所成二面角的大小為.
2、(2023年雲南省第一次統測19題) (本題滿分12分)
圖3-2 如圖3-2，在長方體abcd－a1b1c1d1中，
圖3-2
已知ab＝aa1＝a，bc＝a，m是ad的中點。
(ⅰ)求證：ad∥平面a1bc；
(ⅱ)求證：平面a1mc⊥平面a1bd1；
(ⅲ)求點a到平面a1mc的距離。
解:以d
叉積求點到平面距離 平面方程怎麼求
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向量 向量點積（結果為標量） 叉乘
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