兩個重要的極限
第乙個：
lim(sinx/x)，在x趨向於0的時候，其值為1。
第二個：
lim(1+1/x)^x，在x趨向於正無窮的時候，其值為e。
夾逼準則
如果函式a(x)，b(x)，c(x)
滿足：a(x)<=b(x)<=c(x)
在x趨向於x0
或者x趨向於無窮大
此時a(x)和c(x)都有極限，並且極限都是a，那麼又因為：a(x)<=b(x)<=c(x)
此時推導出b(x)在
x趨向於x0
或者x趨向於無窮大
時的極限也是a。
下面來證明第乙個重要的極限：
lim(sinx/x)在x趨向於0的時候，極限值為1。
如圖所示：
上圖為四分之一圓，圓的半徑為1。
如果角aob為x，單位為弧度。
sinx=cb
x=弧ab，這裡要知道弧長計算公式了，等於半徑*扇形的弧度，
tanx=ad/oa=ad，這裡的oa=半徑=1
由圖可以可得：
sinx<=x<=tanx
x<=tanx見下圖，而弧ab>ab>sinx是由圖顯而易見的。
不等式兩邊同時除以sinx得到：
1<=x/sinx<=tanx/sinx
也就是：
1<=x/sinx<=1/cosx
這個距離我們的sinx/x的極限還是有一定距離：
我們將等式全部倒數得到：
cosx<=sinx/x<=1
如果我們能夠推導出cosx的極限在x趨向於0的時候，是1，那麼根據夾逼準則可以推導出：sinx/x，在x趨向於0的時候的極限也是1。
ok，問題轉化成了，求cosx的在x->0的極限。
在0到pi/2區間內：
0<=|cosx-1|=1-cosx=2[sin(x/2)]^2
根據上面的圖形知道，x在0到pi/2區間，sinx<=x<=tanx
而x/2，則進一步的縮小了區間，此時在0到pi/4區間了，則有sin(x/2)<=x/2<=tan(x/2)
此時：0<=|cosx-1|=1-cosx=2[sin(x/2)]^2 <=2*(x/2)(x/2)=xx/2
當x趨向0的時候，x*x/2的極限為0
所以從而得到：cosx在x趨向0的時候，極限為1。
cosx<=sinx/x<=1
所以，得到sinx/x在x趨向0的時候，極限為1。
準則二：
單調有界數列必有極限。
證明略。在高等數學，同濟大學版中，證明略，只給出了幾何解釋。
第二個重要的極限
lim(1+1/x)^x，在x趨向於正無窮的時候，其值為e。
證明，分為兩步。
如果考慮正整數的情況。
xn = (1+1/n)^n
1）根據牛頓的二項展開式，我們分別展開xn和xn+1的情況，可以得到xn+1是大於xn的。說明是單調遞增的。
2）然後證明其是有界的
比如將xn=(1+1/n)^n展開：
由於1-1/n是小於1的，而(1-1/n)(1-2/n)<1*1
以此類推：
就小於
此時說明，數量xn是有界的，ok，也就說明lim(1+1/x)^x，在x趨向於正無窮的時候，是有極限的，通常用字母e表示。
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