這一篇我們主要講講穩態誤差（steady-state error）和系統型別（system type）。這是經典控制中最為關心的系統效能指標之一。 經典控制在過去主要研究的是regulation的問題，穩態時的誤差大小是十分重要的指標。
我們研究regulation的問題時reference input是乙個常數。而plant受到的擾動在很多時候也是乙個常數偏差。即便是在通常的tracking問題中，也會有很多時候reference input 會保持在乙個接近常數的水平，或者能夠被乙個多項式（polynomial）所描述。
以電梯為例子，在沒到達指定樓層之前，電梯會有乙個ramp function作為輸入，從而讓電梯有恆定速度。當然也可以保持恆定的加速度。
如此說來，研究多項式描述的參考輸入對系統的穩態誤差是具有意義的。
定義系統型別（type），是系統最高可以追蹤的訊號的多項式的階次。比如step function 是0階多項式，ramp function是乙個1階多項式，acceleration function是乙個2階多項式。
tracking問題的系統型別
對於乙個單位反饋系統（unity feedback system），plant 的傳遞函式為
如果e(s)是穩定的，那麼可以應用final value theorem求得對多項式訊號
穩態誤差:
以step function為例，
，那麼如果開環傳遞函式沒有0處的極點，也就是積分器
，那麼穩態誤差為：
其中定義了
為position constant。
如果系統的開環傳遞函式中只有乙個積分器
，那麼我們可以改寫上式為
其中 ，也就是我們把
給分離出去，讓
在 時為乙個常數
，此時系統為type 1，i型系統。
如果有多個積分器
,那麼有
顯然如果
，那麼穩態誤差就變為了0。
如果 那麼穩態為乙個常數，系統為type k。
否則 系統就無法track該多項式訊號，最終發散。
定義系統型別的意義在於，如果系統的引數發生改變，而又不會移除開環系統在0處的極點，系統依舊會track同型別的多項式訊號而保持收斂。在單位反饋下，系統型別是一種相對於系統引數變化的魯棒特性。 魯棒性是採用單位反饋的主要原因（非單位反饋是否具有這種特性，請自行驗證。）
regulation問題的系統型別
對於regulator，我們要考察干擾對系統穩態誤差產生的影響。
我們假設參考輸入為0，那麼輸出誤差應該就是為0。但是如果加入了干擾，那麼此時的輸出就定義為誤差
，laplace變換為
。同樣可以定義
顯然如果
，那麼穩態誤差就變為了0。如果
，那麼穩態為乙個常數，系統為type k型。否則，系統響應發散。
總結
我們假定系統閉環系統是穩定的的，對不同多項式訊號的穩態誤差是可以由終值定理計算得到的。根據系統最多可以跟蹤的多項式的degree，來定義其型號type。系統型號是一種系統魯棒性的表現。
reference
[1] g.f. franklin, j.d. powell, a.emami-naeini, feedback control of dynamic systems, 7th edition, 2014, pearson
[2] 胡壽松，自動控制原理（第六版），2013，科學出版社
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