先舉乙個簡單的例子來說明二分搜尋的做法：
問題：有乙個陣列a = [2, 5, 8, 12, 16, 23, 38, 56, 72, 91]，查詢元素23在陣列中的下標。
解法：初始條件： 陣列a， 搜尋下邊界l是0， 上邊界h是9
第一次搜尋： 計算中間點位置：m = (下邊界l + 上邊界) / 2 = (0 + 9) / 2 = 4，a[4]的值是16， 小於23，因此，數字23在陣列**現的下標位置應該大於4，於是搜尋的範圍應該是在陣列分割之後的右邊部分，於是下邊界l置為5
第二次搜尋：計算中間點位置：m = (下邊界l + 上邊界) / 2 = (5 + 9) / 2 = 7，a[7]的值是56， 大於23，因此，數字23在陣列**現的下標位置應該小於7，於是搜尋的範圍應該是在陣列分割之後的左邊部分，於是上邊界h置為6
第三次搜尋：計算中間點位置：m = (下邊界l + 上邊界) / 2 = (5 + 6) / 2 = 5，a[5]的值是23， 搜尋結束，返回5
整個搜尋過程如下圖所示：
從以上過程可以看出：二分法每次都將搜尋範圍減少一半，是一種非常高效的方法，事實上，其時間複雜度是o(log n)。
二分法看起來非常簡單，但是據說90%的程式設計師都寫不對這個演算法，這裡，我們從最簡單的情況開始，把這個演算法寫對。
最簡單的情況是陣列中元素嚴格按照公升序排列。
思路如下：
若陣列中間值小於查詢值，則說明查詢值的位置一定在右半部分（不包含中間值）
若陣列中間值等於查詢值，則說明查詢值的位置是中間位置
若陣列中間值大於查詢值，則說明查詢值的位置一定在左半部分（不包含中間值）
**如下：
def _binary_search(arr, key, lower, upper):
# 如果下邊界已經超過上邊界了，說明在arr中找不到key， 返回-1
if lower > upper:
return -1
# 計算中間點的index, 一種方法是middle = (upper + lower) // 2, 但這樣寫在
# c之類的語言中可能會產生整數溢位，在python中沒有這個問題， 但一般還是按以下寫法
middle = lower + (upper - lower) // 2
# 陣列的中間元素等於key，則返回中間元素的下標
if arr[middle] == key:
return middle
elif arr[middle] > key:
return _binary_search(arr, key, lower, upper-1)
else:
return _binary_search(arr, key, lower+1, upper)
def binary_search(arr, key):
return _binary_search(arr, key, 0, len(arr)-1)
例如：陣列[1, 3, 3, 4, 5]中3的初始位置是1， 結束位置是2。
思路還是與上面一致，還是依據與中間結果的比較來縮小問題規模，只是在邊界值的處理上有些細節需要注意。
對於求初始位置：
若陣列中間值小於查詢值，則說明查詢值的初始位置一定在右半部分（不包含中間值）
若陣列中間值等於查詢值，則說明查詢值的初始位置一定在左半部分（包含中間值）
若陣列中間值大於查詢值，則說明查詢值的初始位置一定在左半部分（不包含中間值）
對於求結束位置：
若陣列中間值小於查詢值，則說明查詢值的結束位置一定在右半部分（不包含中間值）
若陣列中間值等於查詢值，則說明查詢值的結束位置一定在右半部分（包含中間值）
若陣列中間值大於查詢值，則說明查詢值的結束位置一定在左半部分（不包含中間值）
**如下：
def _lower_bound_binary_search(arr, key, lower, upper):
# 若只剩下乙個元素或者不剩元素了，則退出程式
if lower >= upper:
# 若最後乙個元素等於所需查詢的元素, 則返回其下標
if arr[lower] == key:
return lower
else:
return -1
# 求中間點index
middle = lower + (upper - lower) // 2
# 若中點值小於key, 則在右半部分搜尋
if arr[middle] < key:
return _lower_bound_binary_search(arr, key, middle+1, upper)
# 若中點值大於等於key, 則在左半部分搜尋(包括中點)
else:
return _lower_bound_binary_search(arr, key, lower, middle)
def lower_bound_binary_search(arr, key):
return _lower_bound_binary_search(arr, key, 0, len(arr)-1)
def _upper_bound_binary_search(arr, key, lower, upper):
# 若只剩下乙個元素或者不剩元素了，則退出程式
if lower >= upper:
# 若最後乙個元素等於所需查詢的元素, 則返回其下標
if arr[upper] == key:
return upper
else:
return -1
# 求中間點index, 需向上取整
middle = lower + (upper - lower + 1) // 2
# 若中點值大於key, 則在左半部分搜尋
if arr[middle] > key:
return _upper_bound_binary_search(arr, key, lower, middle-1)
# 若中點值小於等於key，則在右半部分搜尋
else:
return _upper_bound_binary_search(arr, key, middle, upper)
def upper_bound_binary_search(arr, key):
return _upper_bound_binary_search(arr, key, 0, len(arr)-1)
第二步：根據中間點的值與查詢值的大小關係，確定往陣列的左半部分或者右半部分查詢
第三步：重複上面兩步，直到查詢到所需的值，或者查詢完整個陣列， 確認值不存在
計算中間點index有講究
計算中間點index最自然的寫法是：
middle = (lower + upper) // 2middle = lower + (upper - lower) // 2middle = lower + ((upper - lower) >> 1)向下取整：
middle = lower + (upper - lower) // 2middle = lower + (upper - lower + 1) // 2其實對於嚴格公升序排序的陣列，進行二分搜尋的時候， 選取中間點，無論向上向下取整都是可以的。
但是，對於含有重複元素的陣列，進行二分搜尋的時候，若是求開始位置，則必須使用向下取整，若是求結束位置，則必須使用向上取整。為什麼會有這種區別呢？因為我們取的中間點的位置必須盡可能地靠近需要求取的位置。
遞迴退出條件有講究
對於上面**的遞迴退出條件，顯然：當lower > upper時是可以退出的，這代表了查詢失敗。
但是，對於求開始位置、或者結束位置的二分搜尋，其實是有乙個陷阱的。
例如：求陣列[2]中元素2出現的開始位置，若我們還是按照lower > upper的退出條件的話，則會陷入無限迴圈。詳細說明如下：
lower = 0, upper = 0, middle = (lower + upper) // 2 = 0, arr[middle] = arr[0] = 2
因此下一次還是在繼續重複這個迴圈。
也就是說若陣列只有乙個元素， 且該元素等於要查詢的元素， 則永遠跳不出迴圈了。
所以，對於求開始位置、結束位置的二分搜尋，退出的邊界時既要考慮陣列剩下乙個元素的情況，也要考慮陣列不剩任何元素的情況。
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