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預備知識動量定理，轉動慣量
任意慣性系中，若剛體質量為
只延乙個固定的方向轉動（如剛體的二維運動），且該方向關於質心的轉動慣量為
其中 是質心的加速度，
是繞質心轉動的角加速度．這是說，我們可以把剛體的運動分解成質心的移動和相對質心的轉動，並用合力計算前者，用關於質心的合力矩計算後者．
推導
我們把剛體看做質點系來證明，在任意慣性系中，由動量定理，剛體總動量，即質心動量
的變化率為
現在我們用角動量定理證明式 2 ．由於質心與剛體的相對位置不變，質心系中剛體必須繞質心轉動，且角動量為（式 8 ）
， 角動量變化率為1
要特別注意的是，除非合力為零，質心系並不是慣性系，所以使用角動量定理要考慮剛體的慣性力．但幸運的是質心系中慣性力（式 5 ）
產生的合力矩為零
現在我們可以繼續角動量定理 得
由於質心系相對於任何慣性系沒有相對轉動， 所以在任意慣性系中剛體的角加速度仍然為
．但受力點的位矢變為
，即例1球體或圓柱延斜面無摩擦滾動
如圖 1 ， 在乙個傾角為
的斜面上， 乙個半徑為
質量為
的均勻 的球體（或圓柱）從靜止開始向下滾動， 其轉動慣量為
， 求質心的加速度和滾動的角加速度．
圖 1：圓柱延斜面無摩擦滾動
解： 首先， 根據無摩擦的條件， 系統只有乙個自由度， 即圓柱的位移或者轉角， 二者的關係為
兩邊求二階導數， 得加速度與角加速度的關係為
受力分析如圖， 圓柱受三個力： 重力， 支援力和靜摩擦力． 將物體受到的重力分解為垂直斜面方向和沿斜面方向的兩個分力． 其中垂直方向的分力與斜面提供的支援力抵消， 而平行方向的分量和摩擦力的合力決定質心的加速度式 1
再來分析關於質心的轉動， 由於重力和摩擦力都在質心， 所以對合力矩貢獻為 0． 所以只有摩擦力的貢獻為
， 由式 2 得
由式 9 到式 11 三式解得加速度為
可見轉動慣量為 0 時， 結果與無摩擦滾動一致． 而轉動慣量越大， 加速度就越小．例2
一根質量為
長為 的均勻細棒延
方向靜止放置在水平面
，從 時起在其上端施加乙個
方向的恒力，描述細棒如何運動．如果木棒與地面的摩擦係數為
，答案又如何？
首先考慮質心的運動， 細棒所受外力只有乙個恒力， 所以由式 1 質心沿
方向做勻加速運動． 再來看質心系中細棒的轉動由 「 轉動慣量」 中例 1 可知細棒繞其質心做單擺運動．
1. 注意第一步成立的條件是
不變，而一般情況下
與剛體的轉軸有關，所以只能假設剛體延同一方向轉動．唯一的例外是物體的轉動慣量與方向無關的情況，例如球體．剛體的變向轉動較為複雜，不做討論．
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