密碼學已經有數千年的歷史，無論是在戰爭中，還是現在的全球網際網路都起著重要的作用。密碼學的神奇故事包含著兩大古老的領域——數論和概率論。
對於本文所討論的主題——同餘運算就屬於數論中的乙個重要概念。從孫子問題到凱撒密碼，再到 rsa 金鑰，同餘運算在這些經典的密碼問題中也發揮著至關重要的作用。
當我們把兩個整數 a, b 相除時(b ≠ 0)，往往會得到下列等式
這裡 a 為被除數(dividend)，b 為除數(divisor)，q 為商(quotient)，r 為餘數(remainder)。
有時，當我們在做 a 除 b 的運算時，我們只關心餘數 r 的取值情況(當餘數為 0 時，被稱為整除)。人們定義計算餘數的計算為為取模運算(modulo operator)，稱為模(記為 mod)，這樣我們就得到了等式：
這個時候，我們說 a 模 b 與 r 相等，b 被稱作模數(modulus)。
例如：
為了更清楚地看到模是怎樣運算的，我們取 [0,11] 這個區間內的整數，並將它們都除以 3，觀察餘數的變化情況：
我們可以看到餘數從 0 開始，每次增長 1，直到接近除數為止。所以，在這個過程當中，餘數是迴圈的。我們不妨把所有餘數圍成乙個圓，隨著被除數的不斷增長，其餘數則是在這個圓裡迴圈。
這個過程和我們鐘錶的原理是一樣的，人們將一天分為二個以十二小時計算的單位。在 12 點時就會歸為 0 ，即鐘錶實際上是由模數為 12 的模算數。從表盤讀取時間其實就是同餘運算的過程。例如，我們在說 18 點時，很容易就可以想到是下午 6 點，因為這個時候時針從 0 點開始走過了 18 個數字，那麼我們可以從圖上看到，指標最後停到了 6 點。
如果用數學公式來表達這一過程，那就是
18 ÷ 12 = 1... 6
由於此時我們只關心餘數的取值，所以利用『模』這個式子同樣也可以寫為18mod 12=6
因此，當我們計算 amod b 時，可以遵循以下步驟：
將鐘錶的結構調整為 b 個數字
從 0 開始，移動 a 個數字
最後我們所在的地方就是我們的答案: 餘數 r
當然，如果 a 是正數我們就按順時針方向移動，如果是負數，則按逆時針方向移動。
試想，如果我們以 b 的整數倍來增大 a，那麼我們的終點將會是相同的。即對於任意的 k 有
例如，- 3 mod 10=3
如果 a 與 b 除以 c 有相同的餘數，那麼我們可以表達為
這個時候，我們可以稱 a 與 bmod c 是同餘(congruence modulo)。為了更好的了解同餘的這一概念，我們先來看一下所有整數模 5 的情況：
從上圖我們可以看到，我們把整數分為 5 個區域，分別標註為 0，1，2，3，4。而後，根據同餘運算把所有的整數都放入 5 個區域當中。
我們可以把這些區域想象成裝著一堆數字的袋子，舉個例子，26 應該是在標註為 1 的袋子中，因為 26mod 5=1。
從上圖中我們可以看到，1、6、11、16、21 同樣也在這個袋子裡。我們把這些在乙個袋子裡的數字稱作是乙個等價類(equivalence class)。
我們還可以觀察到，在這個等價類中數與數之間相差的都是 5 的整數倍。就是說，如果我們要把所有整數模 c，那麼將會得到 c 個袋子，每乙個袋子中的數都差 c 的整數倍。
在數學上，我們就用 a ≡ b(mod c) 來表示在這個情況，並讀作 a 同余於bmod c。在這個表達中，我們要注意：
1. ≡ 是乙個表示相同的、等價的符號。即 a 和 b 在乙個等價類中。
2. (mod c)告訴我們 a 和 b 要除的數。
3. 當以上兩種情況都滿足時，我們稱「≡」為模 c 的同餘
從上面模 5 的例子可以看出，我們把所有的整數看成乙個圓餅，通過模運算將其切成了五份，分為了五個等價類，對於這種告訴我們如何分出等價類的方法，我們稱為等價關係(equivalence relation)。
等價關係有三種性質：
- 自反性(reflexivity)：a 與 a 有關。
- 對稱性(symmetry)：若 a 與 b 有關，那麼 b 與 a 有關。
- 傳遞性(ransitivity)：若 a 與 b 有關，b 與 c 有關,則 a 與 c 有關。
由於同餘運算也是等價關係，所以也就滿足這三條性質，比如：
- 3 ≡ 3(mod 5) (自反性)
- 若 3 ≡ 8(mod 5)，那麼 8 ≡ 3(mod 5) (對稱性)
- 若 3 ≡ 8(mod 5)，且 8 ≡ 18(mod 5)，那麼 3 ≡ 18(mod 5) (傳遞性)
利用這三條性質，可以幫助我們完成很多模的運算。
數與數之間存在加減法運算，那麼模與模之間是否存在類似的呢？如果存在，這將更方便於我們的計算。
我們不妨假設模之間的運算是這樣的過程：
我們先來嘗試用乙個例子來驗證下，假設 a=12,b=9,c=7。
那麼我們得到，等式的左邊 (12+9)mod 7=0，等式的右邊 (12mod 7+9mod 7)mod 7=0。
因此，從這個例子來看，這個等式是成立的。
但是，這個等式為什麼成立，它又是怎樣運作的呢？我們在圖形上更直觀的角度來觀察一下
從上圖我們可以看出，只要是圍繞圓的完整環就不影響終點的位置，通過先計算 mod 7 可以幫助我們忽略圍繞圓的完整步數。通過加法運算，使得他們從 0 開始，順時針移動。
對於減法運算，我們只需要將 b 取為負數，直觀上，相減就視為逆時針地移動，公式如下：
(第一部分完)
取模運算性質
給定乙個正整數p，任意乙個整數n，一定存在等式 n kp r 其中 k r 是整數，且 0 r p，則稱 k 為 n 除以 p 的商，r 為 n 除以 p 的餘數。對於正整數 p 和整數 a,b，定義如下運算 取模運算 a p 或a mod p 表示a除以p的餘數。模p加法 其結果是a b算術和除以...
模運算性質
給定乙個正整數p，任意乙個整數n，一定存在等式 n kp r 其中 k r 是整數，且 0 r p，則稱 k 為 n 除以 p 的商，r 為 n 除以 p 的餘數。對於正整數 p 和整數 a,b，定義如下運算 取模運算 a p 或a mod p 表示a除以p的餘數。模p加法 其結果是a b算術和除以...
模運算及其性質
忘了是不是原創了，誰發現了位址請告知。本文以c 語言為載體，對基本的模運算應用進行了分析和程式設計，以理論和實際相結合的方法向大家介紹模運算的基本應用。基本理論 基本概念 給定乙個正整數 p，任意乙個整數 n，一定存在等式 n kp r 其中k r 是整數，且 0 r p 稱呼k為n 除以p的商，r...