sicp 一書 1.2.6 小節提到費馬檢查和費馬小定理，但沒有小定理的證明。此文補充這個證明。
以數學符號來描述，假如
同餘等價符號是三個橫線的等號。另外數學符號a mod n是乙個整體，表示 a 對 n 求模（取餘數），沒有像函式呼叫那樣記成mod(a, n)。
同餘有些很好的性質。有加法原理和乘法原理。
mod 運算，可看成是時鐘轉圈，超出一圈又會繞到原來的地方。
在同餘的公式中，經常會出現 mod 運算，似乎很複雜。但只要將 a 看成是跟
等價，公式就會很自然了。
出現 mod 都是為了讓 a 轉幾圈之後，重新落入到 [0, n) 的區間之下。這樣參與運算的數字會在 [0, n) 中，結果也會封閉在 [0, n) 中，永遠不會超出這個範圍。
比如乘法性質，先將 a 看成等價的
, b 看成等價的
，之後再相乘，乘出來的結果再算 mod, 重新落入 [0, n) 區間中。
只要將 a 看成是跟
等價，同餘的很多運算性質幾乎就跟普通整數運算一樣。
**expmod計算冪取模運算，其實應用了同餘的乘法原理。
當 b 為奇數時
當 b 為偶數時
費馬小定理說，當 n 為素數，a < n （或者 a, n 兩者互質）時，有
我們變換一下公式
要證明費馬小定理，先要證明乙個結論。假如 n 是乙個素數，a < n, 這樣排列 1、2、3、4、5 .. n - 1, 乘以 a, 再取 n 的餘數，結果也是 1 到 n - 1 的排列，但是順序會打亂。
舉個例子 n = 5, a = 3。
可以看到，餘數仍然是 1 到 4 之間，沒有重複，只是順序打亂了。
反證法。假如結論不成立的話，就會有 i, j 兩個數字，使得
不妨假設 i > j，將上式移動一下位置，就會有
換句話說，就是 (i - j) * a 可以被 n 整除。而 n 是素數，那麼 (i - j) 或者 a 其中之一就必須包含因子 n。但 (i - j) 和 a 都比 n 要小，顯然不可能包含因子 n。於是結論得證。
上面的證明中，不一定需要 a < n。只要 n 為素數，而 a, n 兩者互質，證明也可成立，費馬小定理也可成立。
因為乘以 a 再 mod n，只是 1 到 n - 1 的重新排列，數字並不會重複。於是我們就可以知道
應用同餘的乘法原理，使用同餘的記號，可以將上式記為
將上式同時除以
，費馬小定理得證
python模運算求餘 取模運算和取餘運算
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2014年12月02日 10 17 50 翻滾吧挨踢男 閱讀數 5470 標籤 數學基礎 數論演算法 網路安全 更多 個人分類 網路安全數學基礎 所謂的同餘，顧名思義，就是許多的數被乙個數d去除，有相同的餘數。d數學上的稱謂為模。如a 6,b 1,d 5,則我們說a和b是模d同餘的。因為他們都有相同...