平面橢圓,乙個神奇的圖形。小時候的我,覺得橢圓就是乙個普普通通的圖形。直到我上了高中,接觸了圓錐曲線,經歷了一番摧殘之後,我覺得我似乎認清了橢圓的真面目。而現在,我又碰到了橢圓積分,才發現我真的太天真了......所以,我現在對橢圓充滿敬畏之情,不知道何時又會碰到與之有關的更為高深的知識。下面我們就從橢圓的周長開始,慢慢揭開橢圓積分的神秘面紗......
問題的引入:橢圓的周長
如果我沒記錯的話求平面曲線的弧長應該是導數的基本應用之一吧。首先,我們來回憶一下計算平面曲線弧長的公式。
設一連續可微的平面曲線
我們取這個曲線
上的一段微元並記作
。有勾股定理可得:
而:帶入 的表示式有:
兩邊同時積分可得:
這就是有關引數方程的弧長公式了。我們先小試牛刀,計算一下圓的周長。
我們知道,圓的標準引數方程是(其中
為圓的半徑):
則:代入弧長公式有:
一切過程都十分順利,那我們再來看看橢圓:
橢圓的標準引數方程大家肯定也不會陌生(其中
為半長軸長,
為半短軸長):
我們僅計算橢圓在第一象限的部分的弧長,之後在乘以
就好了。但是第一象限部分的引數的取值範圍會有變化,即在第一象限中
。引數方程的導數為:
代入到弧長公式中得到:
直到現在,仍一切順利,我們在化簡一下看看:
......嗯?這玩意怎麼處理?到這一步會發現根號完全去不掉,原函式也找不到。到此,本文結束。
嘿嘿,開個玩笑。聰明的數學家們是不可能就此罷休的,於是他們又開始將上面的式子進一步化簡:
其中:
叫做橢圓的
離心率。
式還可做變數代換:
則:則有變數代換後的積分:
還可以寫的更有強迫症一點:
到現在,橢圓積分的雛形已經出現了。
2. 橢圓積分的誕生
經過 等數學家的研究,橢圓積分的知識體系漸漸完善,直到
的出現徹底徹底完善了橢圓積分的知識體系。
我們先觀察
式,這個式子是橢圓周長的積分公式,而它可以被拆成兩部分:
我們將拆開後的第一部分拿出來,並去掉積分上下限和係數得到不定積分:
再將第二部分拿出來,去掉係數和積分上下限得到另乙個不定積分:
另外還有個乙個不定積分:
這三個不定積分便是
所總結得到的。若將上面的三個不定積分做變數代換:
則:(這個我不知道怎麼來的...)
上面的
分別叫做
第一類,第二類,第三類橢圓積分。
之後
又定義了三類
橢圓積分,是將
橢圓積分裡面的
換回 得到的,即:
引數 叫做橢圓積分的模。
特別的,當
或 時,這三類橢圓積分都稱為
完全橢圓積分,否則稱為不完全橢圓積分,即:
完全 橢圓積分:
完全 橢圓積分:
3. 橢圓的周長公式
橢圓並非沒有周長,只不過沒有精確值罷了。對於其周長公式,是乙個無窮級數的形式:
其中:
為半長軸長,
為橢圓的離心率。這個級數是由第二類橢圓積分展開所得到的。(可惜我不會展開)。可見,當離心率為零時,級數退化為圓的周長公式。
當然,橢圓的周長公式有幾個近似公式:
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