騎車偶遇暴雨......在路邊小亭子躲雨的時候聽到隔壁幾個練車的學生在討論：繫在欄杆上的繩子到底是個什麼函式......
閒聊順帶幫他們解決了一下問題......雖然是個老問題了，但是覺得挺有意思，就寫上來吧
網上找個圖意思一下
為了簡便，我們選擇繩子的對稱軸做y軸，水平方向為x軸，建立座標系。假設繩子的最低端座標為a(0,a)，記此時繩子的函式為y=f(x)。顯然f(x)是偶函式，所以我們只討論第一象限的那一段即可。
為什麼不用(0,0)作為繩子的最低點呢......這是為了後續簡化方程來的，實際上用**當原點並不影響結果。
顯然，從a點開始到點(x,f(x))這一段長度為l的一段繩子，在左側的繩子的水平拉力f，右側繩子拉力t，繩子自重g的作用下三力平衡。
我們記t與水平面夾角為θ，繩子線密度為ρ的話，有：
根據弧長的微元公式：
可以得到弧長
那麼聯立(1)(3)可以得到:
而根據導數的定義我們知道
所以 先別頭大，這裡我們對(6)再求導一次來消去積分符號：
現在我們的問題就轉化成怎麼求(7)這個微分方程了......
在高等數學中講過這種方程的解法，我們令
這就是簡單的分離變數法了:
這一步怎麼算的我們放到附錄裡了，應該是一道高數經常出的題。先不管這個了，我們把
誒？又要解微分方程嗎？這看著是非線性的啊......先別急
根據我們建立的模型，在a(0,a)處曲線的導數為0，將此帶入(11)就確定了c=0：
取一下倒數再有理化一下：
聯立(12)和(13)，就得到了：
這個微分方程就好解了吧：
(15)
同樣我們把a(0,a)帶入可以得到：
(16)
開始我們就說了，a點座標是(0,a)。其實我們可以通過平移座標得到乙個更簡單的方程。若恰好：
那麼：
(17)，看出點味了吧，和(14)是不是很像啊。這就是雙曲函式的由來了
所以最終繩子的方程出來了：
(18)
大體上長這樣：
我們繼續說一下(10)怎麼推導的：
我們令
,那麼：
再變數替換一下，令
：把替換的變數再換回來:
由 可以推出
因此
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