質數：在大於1的整數中，如果只包含1和它本身這兩個約數，那麼這個數就稱為質數。
判斷質數最暴力的寫法，按照質數的定義：看是否有其他的因子。
最樸素的暴力的時間複雜度o(n)
//時間複雜度o(n)
bool
isprime
(int n)
優化：列舉到n
\sqrt
n，因為因數都是成對出現的，
如果d是n的因子，那麼n/d也是n的因子，所以只需要列舉一部分就行，列舉哪一部分呢？就是d≤n/d 推出，d≤n
d≤\sqrt
d≤n
這裡n\sqrt
n的寫法需要注意，這種呼叫數學函式n
\sqrt
n的寫法不好，太慢；另外寫成i∗i
≤ni*i≤n
i∗i≤
n存在溢位風險，最好的寫法是i≤n
/ii≤n/i
i≤n/
i試除法求質數的時間複雜度o(n
\sqrtn)
//優化成o(根號n)
bool
isprime
(int n)
暴力求質因數
下面i就是質因子，s是質因子i的階數。
暴力的時間複雜度o(n)
void
divide
(int n)
cout<
" "<
}
給出乙個重要性質：正整數n的因子中，最多包含1個大於n
\sqrt
n的質因子。（可以用反證法來證明）
這裡試除法的優化就是列舉到n
\sqrt
n，然後剩下的1個大於n
\sqrt
n的質因子單獨處理，這樣試除法分解質因數的時間複雜度o(n
\sqrt
n)
ac**
#include
using
namespace std;
//試除法分解質因數
void
divide
(int n)
cout<
" "<
//單獨處理大於sqrt(n)的質因子
if(n>
1) cout<
" "<<
1<
}int
main()
}
題目鏈結acwing868. 篩質數
樸素篩法
樸素篩法的思想：從小到大列舉所有數，每次刪掉該數的所有倍數，比如列舉到2，就刪掉所有2的倍數。列舉到3，就刪掉所有3的倍數。
需要用到prime陣列，用來存放所有的質數；st陣列，用來記錄是否是某個數的倍數，即判斷哪些是質數。需要count1變數，來儲存質數的個數。
遍歷的時候，需要考慮等號取不取。
樸素篩法的時間複雜度o(n
×log
n)o(n\times logn)
o(n×logn)
#include
using
namespace std;
const
int maxn=
1000010
;int prime[maxn]
;//prime陣列存的是從小到大的質數
int count1=0;
//質數的個數
bool st[maxn]
;//判斷是否是質數
//樸素的篩法
void
primenumber
(int n)
for(
int j=i+i;j<=n;j+
=i) st[j]
=true
;//倍數篩掉
} cout<
}int
main()
優化：不需要篩掉所有數的倍數（合數的倍數一定不是質數，不用管），只需要篩掉質數的倍數，(因為質數的倍數是合數)。
//優化的篩法
void
primenumber1
(int n)
} cout<
}
n\frac
lnnn
個質數。
優化的篩法（埃氏篩法）時間複雜度o(n
×log
logn
)o(n\times loglogn)
o(n×lo
glog
n)，可以粗略地看成是o(n)。
兩次提交結果
線性篩法
先說效率，數量級在10^7時候，線性篩法比埃氏篩法快一倍大概。
線性篩法時間複雜度o(n)
線性篩法的核心：乙個數k只會被k的最小質因子篩掉。
//線性篩法
void
primenumber2
(int n)
} cout<
}
如何找到第乙個大於100000的質數呢？
解答:就是使用試除法判斷質數的方法，從100000開始遍歷，使用標誌flag，如果i不是質數，flag=false；如果i是質數，flag=true；然後判斷flag如果等於true，就break跳出迴圈，輸出i，即為大於100000的最小質數。
#include
using
namespace std;
const
int maxn=
100000
;int
main()
}if(flag)
}}
數學知識 質數（質數的判定 分解質因數 篩質數）
在大於1的整數中，如果只包含1和她本身這兩個約數，那麼這個整數被稱為質數。給定n個正整數ai，判定每個數是否是質數。輸入格式 第一行包含整數n。接下來n行，每行包含乙個正整數ai。輸出格式 共n行，其中第 i 行輸出第 i 個正整數ai是否為質數，是則輸出 yes 否則輸出 no 資料範圍 1 n ...
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