如果牛頓和萊布尼茲想到過連續函式不一定有導數 (而這卻是
一般情形)，那麼微積分就決不會被創造出來。
——皮卡
分析算術化的過程開始了
19 世紀的數學，發生了三件意義深遠的大事。
在30 年代，羅巴切夫斯基和鮑耶掙脫歐幾里得幾何的束縛，創
造了和它同樣相容的幾何——非歐幾何。歐幾里得幾何的某些公理
在那裡不再得到滿足。它打破了歐幾里得幾何是先驗的、惟一的幾
何真理的神話，為更多新幾何創立開啟大門。
幾乎同時，代數學也發生了類似的革命。以伽羅瓦、哈密頓、
格拉斯曼和凱萊為代表的數學家們創立了新的代數。普通代數裡
的某些公理在那裡不再適用。它為群、環、域、布林代數、約當代
數和李代數等抽象代數的創立開闢道路。第三個具有重大意義的
事件是分析的算術化。
微積分自牛頓、萊布尼茲創立以來，獲得空前的發展。但是，
它的許多概念還是含混不清的，它的基礎仍舊薄弱。達朗貝爾首先
察覺到需要有乙個極限理論來消除混亂；拉格朗日則在《解析函式
論》中作了有益的嘗試；高斯比同時代數學家更早排除直觀，對嚴
密性提出更高的要求；最後是柯西把問題大大推進。他的極限理論
對分析的發展和級數斂散性的判別都是必不可少的。但是，使數學
家最終下決心摒棄憑直觀推理而尋求更可靠基礎的，是由於德國數
學家卡爾·維爾斯特拉斯在1874 年發表的乙個和直觀相悖的驚人發
現：一條連續曲線卻處處沒有切線!
乙個艱鉅而漫長的分析算術化的過程開始了。
早年的波折
人們總以為，乙個人要想在數學上取得成就，成為第一流的數
學家，就必須從小受到良好的數學訓練，而且不能把大量的時間和
精力花在像中等教育這一類和數學創造無關的事務上。不過，被譽
為「現代分析之父」的德國偉大數學家卡爾·維爾斯特拉斯可以說
是個例外。
卡爾 ·維爾斯特拉斯於1815 年10 月31 日誕生於德國西北部威
斯特伐利亞區的奧斯坦菲爾德。父親威廉·維爾斯特拉斯是受法國
僱傭的海關職員，因為當時拿破崙的法國正統治著德國西部和大半
個歐洲呢。威廉正直坦率，有一定文化素養，一度曾經當過教師。
不過，和高斯的父親一樣，威廉在家裡十分嚴厲而且專斷。幾乎一
直到卡爾40 歲，父親還在不顧兒子的才能和愛好，魯莽地干預他的
事務。幸好卡爾在意志和體格上都異常堅強。父親的干擾使他的事
業和生活走了一段曲折的彎路，但是終究沒有擋住他登上光榮的頂
峰。在卡爾後面，威廉和妻子肖朵拉·福斯特又生了彼得和兩個女
兒：克拉拉和愛麗絲。愛麗絲出世不久，肖朵拉不幸病故。母親的
為人鮮為人知，只知道她對自己的婚姻似乎不大滿意。父親於第二
年再娶。繼母是個典型的德國家庭婦女，對子女智力的發展說不上
有什麼影響。維爾斯特拉斯兄弟姐妹四人親密無間，和睦相處，並
且都沒有結婚。可憐的彼得一度有過這種念頭，可是很快被父親的
厲聲斥責所嚇退。
卡爾降生不久，維爾斯特拉斯全家搬到威斯特伐利亞的韋斯特
康登村。父親在那裡任製鹽廠的海關**。韋斯特康登是個默默無
聞的小村。一條坑窪不平的道路，兩旁疏疏落落居住著二三十戶人
家，連一所小學也沒有。小村今天在德國以至全世界出了名，只因
為維爾斯特拉斯在這裡度過他的青少年時代，而且他的**作也是
在這裡完成的。14 歲，卡爾進附近帕德博恩城的一所天主教預科學
校學習。在學校裡，他如魚得水，自由自在。他和善的性格和過人
的智慧型深得老師們的喜愛。學習規定的幾門功課，他毫不費力，而
且每年穩拿7 項以上獎賞。通常首先是德語，其次是拉丁語、希臘
語和數學。所以，在笛卡兒、費馬等一大串數學家的後面又加上了
維爾斯特拉斯的名字，他們不但是數學的巨匠，而且是語言學的大
師。只有書法一項，維爾斯特拉斯沒有獲過獎。可是，具有諷刺意
味的是，命運卻安排他要在以後相當長的時間裡，教那些剛剛脫離
媽媽懷抱的孩童們寫字!
卡爾學習出色，在實際工作中也身手不凡。從15 歲開始，他就
一邊學習，一邊在一位經營火腿黃油的女商人那裡當會計。他把賬
目管理得井井有條，深得女主人的賞識，以致他的口袋裡總不缺零
花錢。 』
可是，這一連串的成功給卡爾帶來乙個意想不到的結果。從預
科學校一畢業，不容卡爾有半句分辯，父親就把他送到波恩大學去
學法律。威廉的理由很簡單：卡爾能贏得這麼多獎狀，又能把賬目
管理得有條有理，表明他聰明過人而且是出色的簿記員。什麼是簿
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