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第一步：
當荷載的力作用在跨中時撓度的計算方式是：fmax=(p·l3)/(48×e·i)
當荷載作用在任意一點時撓度的計算方式：fmax=｛p·l1·l2(l＋l2)·[3×l1·(l＋l2)]1/2｝/(27×e·i·l)。
也就是說這兩種情況我們如果進行分析的話，我們會發現集中荷載作用在任意一點時，也就是說任意一點可以是中點，那麼上面的‚式就會包含式，而式知識撓度公式中的乙個特例，當然也就是l1=l2= l/2這種情況。那麼我們就可以這樣思考了，將l1=l2= l/2代入‚式中，max=｛p·l1·l2(l＋l2)·[3×l1·(l＋l2)]1/2｝/(27×e·i·l)。
=｛p·l/2·l/2(l＋l/2)·[3×l/2·(l＋l/2)]1/2｝/(27×e·i·l)
=｛p·l2/4·(3l/2)·[9×l2/4]1/2｝/(27×e·i·l)
=｛p·(3l2/8)·[3×l/2] ｝/(27×e·i)
= p·(9l3/16)/(27×e·i)
=(p·l3)/(48×e·i)
這樣也就驗算了以上的思想了。
第二步：
簡單的推導過程:
我們以簡支樑來為例：全粱應將其分為兩段
對於梁的左段來說，則當0≤x1≤l1時，其彎矩方程可以表示為：
mx1=(p·l2/l)·x；設f1為梁左段的撓度，則由材料力學。
e·i·f1／／=(p·l2/l)·x
積分得e·i·f1／=(p·l2/l)·x2/2＋c1
二次積分：e·i·f1=(p·l2/l)·x3/6＋c1x＋d1 ‚
因為x1等於零時：
簡支梁的撓度f1等於零(邊界條件)
將x1=0代入(2)得d1=0
而對於梁的右段，即當l1≤x2≤l時，其彎矩方程可以表現為：
mx2=(p·l2/l)·x－p·(x－l1)；
設f2為梁右段的撓度，則由材料力學
e·i·f2／／=(p·l2/l)·x－p·(x－l1)
積分得e·i·f2／=(p·l2/l)·x2/2－[p(x－l1)2/2]＋c2 ƒ
二次積分：e·i·f2=[(p·l2/l)·x3/6]－[p·(x－l1)3/6]＋c2x＋d2 ④
將左右段連線，則可以
①在x=0處，f1=0；
②在x=l1處，f1／= f2／(f1／、 f2／為撓曲線的傾角)；
③在x=l1處，f1= f2；
④在x=l處，f2=0；
由以上四條件求得(過程略)：c1= c2= -[(p·l2)/6 l]·(l2－l22)；d1=d2=0。
對於左段 0≤x≤l1
e·i·f1／=(p·l2/l)·x2/2＋c1 (1)
= p·l2/6l ·[3x2－(l2－l22)] (5)
e·i·f1=(p·l2/l)·x3/6＋c1x＋d1 (2)
= (p·l2/6×l)·[x3－x(l2－l22)] (6)
對於右段 l1≤x≤l
e·i·f2／=(p·l2/l)·x2/2－[p·(x－l2)2/2]＋c2 (3)
= (p·l2/6×l)·[3x2－(l2－l22)]-[ p/2·(x－l1)2] (7)
e·i·f2=[(p·l2/l)·x3/6]－[p·(x－l1)3/6]＋c2x＋d2 (4)
= (p·l2/6l)·[x3－x(l2－l22)] -[p/6·(x－l1)3] (8)
等一一對應的過程式。
第三步：按以上基礎繼續進行：
若l1＞l2，則最大撓度就顯然在左段內，命左段的傾角方程(5)f /等於零，即得最大撓度所在之位置，於是令：
p·l2 /6l·[3x2－(l2－l22)] =0
則：3x2－(l2－l22)= 0
得：x=[(l2－l22)/3]1/2 (9)
將(9)式代入(6)式即得最大撓度
fmax= -[p·l2·(l2－l22)3/2]/ [9×31/2×l·e·i] (10)
展開即得：
fmax=-｛(p·l1·l2·(l＋l2)·[3×l1·(l＋l2)]1/2)｝/(27×e·i·l)。
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