但是在實際的公式推導中，我們不可能按照定義逐個進行求導，一方面這樣很麻煩，另一方面，對於包含矩陣和向量的公式的求導用這種方式進行求解也是不合適的。就好像你不會每次在求導的時候都是從極限的定義開始求解的一樣。
這部分內容，相信大部分同學和我一樣，在簡單推導的時候還可以看個大概，遇到複雜的就不知所云。究其原因，還是在看公式推導的時候，只做到了大概了解。對於為什麼某個求導的時候，後邊的向量放到了前面之類的形式根本不知道為什麼。舉例來說，對於公式f=a
tx
bf=\bmxb}
f=atxb
，標量f
ff對向量x
\bmx的偏導結果∂f∂
x=ab
t\frac}}}=\bm}}
∂x∂f=
abt在這篇文章中，我們將對包含矩陣和向量（向量也可以理解為是矩陣，只不過每一行只包含一列而已）的公式求偏導的內容進行介紹。對於公式的推導就會有條不紊。在對矩陣和向量的求導中，我們不從矩陣或向量的每乙個元素的角度進行理解，我們從整體的角度進行運算1
。首先，我們給出乙個公式：
d f=
tr(∂
f∂xt
dx
)(1)
df = tr(}}}}^}d\bm) \tag
df=tr(
∂x∂f
tdx
)(1)
首先，在這個公式中，首先：
上文提到的例子，f=a
tx
bf=\bmxb}
f=atxb
是最常見的一種形式。我們以它為例子進行運算。在上面的式子中，向量 a∈r
ma \in \mathbb^
a∈rm
，向量 b∈r
nb \in \mathbb^
b∈rn
，矩陣x∈r
m×
nx \in \mathbb^
x∈rm×n
首先，兩邊取微分，得到df=
at(d
x)
b(2)
df=\bm}(d\bm)\bm \tag
df=at(
dx)b
(2)
因為d fdf
df是標量，所以tr(
df)=
df
tr(df) = df
tr(df)
=df，兩邊加上tr標記，我們就可以得到下式
d f=
tr(a
t(dx
)b
)(3)
df=tr(\bm}(d\bm)\bm) \tag
df=tr(
at(d
x)b)
(3)
又由於tf(
ab)=
tr(b
a)
tf(ab)=tr(ba)
tf(ab)
=tr(
ba)，所以
d f=
tr(b
(at(
dx))
)(4)
df=tr(\bm( \bm}(d\bm))) \tag
df=tr(
b(at
(dx)
))(4
) 我們應用結合律去掉多餘的括號，並將d
xd\bm
dx前面的內容加轉置符號就可以得到結果，如下所示：
d f=
tr((
(abt
)tdx
)(5)
df=tr(( (\bm\bm})^} d\bm) \tag
df=tr(
((ab
t)td
x)(5
) 現在整個式子已經呈現公式(1)的樣子，我們就可以得到結果了：
∂ f∂
x=ab
t\frac}}} = \bm\bm}
∂x∂f=
abt對於帶有兩層或者多層中間變數的偏導數的求法，我們一樣將中間變數d
zd\bm
dz表示成d
xd\bm
dx的形式就可以得出想要的結果了。
矩陣求導術↩︎
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