在《變數關係大揭秘(一)》，我們提到了皮爾森相關係數r
先來兩個散點圖，左圖中x和y不相關，右圖中x和y高度正相關，差別在哪？
讓我們在左右兩圖各畫乙個「田」字，「田」字中心的座標是(x的平均值，y的平均值)：
比較左右兩圖，我們知道：
當散點在a、b、c、d均勻分布，x和y不相關；
當a和c的點越多，並且b和d的點越少，x和y就越(正)相關；
當b和d的點越多，並且a和c的點越少，x和y就越(負)相關(懶得畫圖了，自行腦補)。
我們還知道：對於任乙個點(x,y)，下面的公式
有時為正，有時為負；
當散點位於a或c時，公式一定為正；
當散點位於b或d時，公式一定為負。
如果把每個點對應的公式加在一塊，就得到了下面的「西格瑪」(看到σ不要怕，就是加號，意思是把右邊的式子都加起來)：
我們還還知道：
當σ是正值(ac點多，bd點少)，代表正相關；
當σ是負值(bd點多，ac點少)，代表負相關；
不管正負，σ的絕對值越大，x和y的線性相關程度就越高；
σ絕對值為零，x和y(線性)不相關。
「西格瑪」看來很好用，但它有缺陷，會受到散點個數(樣本數量)的影響。閉上眼睛想象一下，假設變數x和y是高度正相關，如果我們在已有樣本的基礎上又觀察了幾次，就會多得到幾個點，把它們加進原來的σ，σ值一定會變大。
恭喜！我們剛剛發明了協方差(covariance)！
協方差可以代表變數x和y的線性關係的強弱(絕對值大小)以及方向(正負)，但它也有缺陷。閉上眼睛想象一下，假設x是身高，單位是厘公尺，y是體重，單位是公斤，現在我把x的單位換成公釐，於是所有的x值都會「憑空」擴大10倍，x和y的協方差也會擴大10倍。
這就有點不靠譜了！因為x和y的相關程度並沒有變化。這說明協方差會受到x的量綱或者波動的影響。同理，也會受到y的量綱或者波動的影響。本著「誰影響就除掉誰」的原則，我們用x和y的協方差同時除以x的標準差和y的標準差，得到下面的公式：(還記得誰代表x的波動嗎？對，就是x的標準差：
恭喜！我們剛剛發明了皮爾森相關係數！
這個公式還可以寫成另一種形式：
這樣含義就更明顯了！相關係數r就是x和y分別標準化之後(zx和zy)的n個乘積的平均值，它反映的是兩個變數(x和y)每單位變化時的相關性，它不受變數x或y自身量綱和波動的影響。
相關係數r可以更好的代表x和y的線性關係的強弱和方向，但它仍有缺陷。除了《變數關係大揭秘(一)》談到的「r只能衡量直線相關(r=0可能曲線相關)」以及「容易受異常值的影響」，還有：
r是乙個「人造」的標準化係數，它既不定距，更不定比，你把它理解為定序資料吧(參考《資料的型別》)，所以不同的r之間只能比大小(可以說「相關性更強或更弱」)，不能做加減乘除(不可以說「相關性強幾倍或弱多少」)。
r仍然與樣本數量n有關。當樣本數量很小的時候，r可能很大；而當樣本數量很大的時候，除非兩個變數之間有極強的相關性，否則r都不會太大。下圖中x是年齡，y是收入，相關係數r明顯是1(兩點肯定在一條直線上)，而這很荒唐！收入不會完全由年齡決定。究其原因是樣本數量n=2，太少了。所以當樣本數量較少時，即使r值比較大，我們也要很謹慎！
說到這裡，可能有人會問，r值到底多大合適？我負責任的告訴你，沒有統一標準(這還涉及r的檢驗)。如果一定要說，r值在-0.5到0.5之間，我們一般認為「不(線性)相關」或者「相關性非常弱」。
哦，臨了提一句，方差是協方差的一種特殊情況，x的方差可以看作是x和它自己的協方差。
皮爾森相關係數
皮爾森相關係數 pearson correlation coefficient 也稱皮爾森積矩相關係數 pearson product moment correlation coefficient 是一種線性相關係數。皮爾森相關係數是用來反映兩個變數線性相關程度的統計量。相關係數用r表示，其中n為樣...
Pearson 相關係數
1 pearson s r，稱為皮爾遜相關係數 pearson correlation coefficient 用來反映兩個隨機變數之間的線性相關程度。2 pearson是乙個介於 1 和1 之間的值。3 當兩個變數的線性關係增強時，相關係數趨於1或 1 4 當乙個變數增大，另乙個變數也增大時，表明...
復相關係數
在實際分析中，乙個變數的變化往往要受到多種變數的綜合影響，這時就需要採用復相關分析法。所謂復相關，就是研究多個變數與某個變數之間的相關關係。度量復相關程度的指標是復相關係數，復相關係數也稱為多元相關係數或多變數相關係數。設因變數為y,自變數為x1,x2,xp,假定回歸模型為 復相關係數反映了乙個變數...