我們直接來看乙個問題。
給定乙個由n個整數組成的集合，其中n <= 40，每乙個整數都小於或等於
我們用例子來說明。
【例題1】
輸入集合為 ，n=6, s = 42
也就是從集合的6個元素中選擇適當的元素組成乙個子集，使得子集所有元素的和最大，並且該和小於或等於42。
【答案】該子集為，它的元素和為34+5+2=41，就是滿足條件的最大子集和。
現在改變s的值，請你自己做下面的例子。
【例題2】
輸入集合為 ，n=6, s = 10
分析思路
最直接的演算法就是暴力搜尋：找到n個整數的所有可能的子集，檢查子集的元素和否小於或等於s，並從中找出元素和為最大的子集。
想法簡單暴力，我喜歡！
但是它是否可行呢？
我們來看看這種演算法的時間複雜度。
我們知道n個元素的集合，它的所有子集個數有
當n的值比較大，
折衷演算法
折衷演算法是一種搜尋技術。當輸入值比較小，但也不是小到可以採用暴力搜尋演算法時，往往可以採用折衷演算法。
折衷演算法的基本思路是將問題分成兩部分，分別單獨解決它們，然後合併，找出最後的解。將問題分成兩部分後，問題的規模比原來小，並使複雜度上得到簡化，因而有可能解決問題。
我們使用折衷演算法來解決上面的問題。下面是演算法的描述：
1)將原來的整數集合拆分為2個子集，例如a和b，a中包含前[n / 2]個整數，b中包括剩下的整數。
2)從集合a中找出所有可能的整數子集和，並且儲存在陣列x中。類似地，把集合b中所有可能的整數子集和，並儲存在陣列y中。這樣，陣列x和y的元素個數最多為
3)現在合併這兩個子問題：從陣列x和y中找出組合，使它們的和小於或等於s。
在第3)步中，一種合併方式是簡單地遍歷陣列y的所有元素，並關聯於陣列x的每個元素，以檢查每種關聯得到的和是否小於或等於s。這樣的時間複雜度為
怎麼辦呢？
為了使它不那麼複雜，可以先對陣列y進行排序，然後再依次迭代x的每個元素，對於x中的每個元素 x，使用二分搜尋法在y中找到最大元素 y，使得x + y <= s。
這裡的二分搜尋法有助於將複雜度從
也就是等於
因此我們的最終執行時間複雜度為
看到沒有？與原有演算法相比，它大大降低了時間複雜度，使得用該演算法解決問題變得可行。
**實現
我們採用c++來實現該演算法，你可以嘗試執行下面的程式。
#include
using namespace std;
//定義型別的別名
typedef long long int llit;
//定義陣列x和y，分別存放一半集合元素組成的可能的元素和
llit x[2000005],y[2000005];
//計算集合a中所有可能子集的元素之和，並且儲存在陣列x中
void calcsubarray(llit a, llit x, int n, int c)
} //找到小於或等於s的最大可能元素和
llit solvesubsetsum(llit a, int n, llit s)
} return max;
} //主程式
int main()
; int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
llit s = 10;
printf("largest value smaller than or equal to given "
"sum is %lld\n", solvesubsetsum(a,n,s));
return 0;
}
集合最大子集演算法 C4 5演算法2
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