演算法最大子陣列問題

今天我們要討論的是經典的問題--最大子陣列問題。題目如下：給定乙個陣列a[0,....n-1]，求a的連續子陣列，使得該陣列的和最大。例如：陣列：1，-2，3，10，-4，7，2，-5；最大子陣列：3，10，-4，7，2；

這個問題已經算是比較經典的問題，這個問題有好幾種的求法，但是我們將去除暴力法，因為時間複雜度太高。接下來就是具體體現。

1、分治法。

分治法是演算法中常見的方法，它的主要思想就是分而治之。將問題最小化直到不能分為止，然後進行比較大小。具體的做法是將陣列從中間分開，那麼最大子陣列只有三種情況，要麼全部在左邊，要麼全部在右邊，要麼一點在左邊，一點在右邊。所以說，完全在左陣列、右陣列就用遞迴解決。跨在分界點上:實際上是左陣列的最大字尾和右陣列的最大字首和。因此，從分界點向前掃，向後掃就行了。現在我們就以題目中的陣列為例，我們先來看看**：

using
system;
using
system.collections.generic;
using
system.linq;
using
system.text;
using
system.threading.tasks;
namespace
管窺演算法
static subarray maxaddsub(int a,int start,int
end)
int middle = (start + end) / 2
;            subarray subarray1=maxaddsub(a, start, middle);
subarray subarray2 = maxaddsub(a, middle + 1
, end);
//第三種情況分在兩邊的
int sum1 =a[middle];
int startindex =middle;
int total = 0
;            
for (int i = middle; i >= start; i--)
}int sum2 = a[middle + 1
];            
int endindex = middle + 1
;            total = 0
;            
for (int i = middle+1; i <=end; i++)
}subarray subarray3;
subarray3.start =startindex;
subarray3.end =endindex;
subarray3.sum = sum1 +sum2;
if (subarray1.sum >= subarray2.sum && subarray1.sum >=subarray3.sum)
else
if (subarray2.sum >= subarray1.sum && subarray2.sum >=subarray3.sum)
else
}static
void main(string
args)
;subarray subarray = maxaddsub(a, 0, a.length - 1
);            console.writeline(
"最大最大子陣列為：");
for (int i = subarray.start; i <= subarray.end; i++)
console.readkey();}}
}

接下來再來看看這個：

在**中是有這句話的：

subarray subarray1=maxaddsub(a, start, middle);

subarray subarray2 = maxaddsub(a, middle + 1, end);

這兩段**的作用顯而易見的是用來只判斷左資料和右陣列組的，但是真實的其實不是這樣的，接下來我們就對遞迴進行分析。我們在執行第一次**的時候，左邊的為0 1 2 3（這個為索引。下面都是這個意思），右邊為4 5 6 7；然後subarray1會在一次的呼叫本身第二次左邊的為0 1，右邊為為2 3；接著的第三次還是一樣的左邊為0 ，在這個時候**就到頭了，然後就會返回給上一級的subarray1,注意一下這個為第三次的subarray1,這個時候左陣列的使命正式完成了，終於可以進行第一次右邊陣列的遍歷了，在第一次右邊陣列因為只有乙個1所以沒有辦法進行遍歷，所以只能進行返回的操作了，這樣與第三次subarray1同層的subarray也出來了。在這個時候我們可以進行註明一下：先把第三次subarray1設為第三層，第三層：subarray1為0 ，subaarray2為1；這兩個左右陣列賦值完了，就可以進行中間情況的判斷了，subarry3就是subarray1+subarray2的值，然後他們三個進行比較最大值並進行返回。在這裡其實我們並不難看出01比較出來的之就是第二層左邊的值。同理右邊進行分類的時候可以相同情況。這樣的話，我們就可以知道了其實分治法中並沒有大中間的意思。我們在理解分治法的時候，一定要明白分支法就是讓問題進行分離，把它們進行分解一直分到不可分為止，然後讓兩個最小的變數進行比較大小，真正的中間情況其實是在不可再分下兩個相鄰值得相加。最後在說一句，在理解遞迴的時候，我們應該把落腳點放在不可再分的地方，這個才是遞迴的本質。

2、動態規劃法

在上面我們使用的分治法的方法，它的時間複雜度為ο(nlogn) ，相對於暴力法的時間複雜度n^2也是進步了不少；但是我們是否可以再跟進一步呢？答案當然是可以的，就是我們的動態規劃演算法，這個演算法將更加先進，因為它把時間複雜度下降到n，只需要需要乙個for迴圈就可以完成目標。接下來讓我們看看**如下：

static subarray maxsubdpmethod(int
args)
else
if(result
result=sum;
}subarray.sum =result;
return
subarray;
}

最後附上結果：

最後進行一下總結，當我們在解決問題的時候，優先放棄暴力法。

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