在前面我們講過簡單的單因素方差分析，這一篇我們講講雙因素方差分析以及多因素方差分析，雙因素方差分析是最簡單的多因素方差分析。
單因素分析就是只考慮乙個因素會對要比較的均值產生影響，而多因素分析是有多個因素會對均值產生影響。
需要注意的是乙個因素可能會有不同的水平值，即不同的取值。比如要判斷某一款藥對某種病症有沒有效果，服用不同的劑量效果應該是不一樣的，雖然因素都是服藥這乙個因素，但是不同的藥劑量代表不同的水平。
雙因素(多因素)方差分析又可以分為兩種，一種是有互動作用的，一種是沒有互動作用的。啥意思呢？什麼是互動作用呢？
比如我們大家所熟知的，牛奶和藥是不可以一起吃的，如果單獨喝牛奶有助於身體蛋白質的補充，如果單獨吃藥可以有助於**病症，但是牛奶和藥同時吃就會把兩者的作用抵消掉。這種兩者之間的相互作用就可以理解成是互動作用，當然了，有的時候互動是正向呢，有的時候是負向的。
我們先來看看無互動作用的雙因素方差分析具體怎麼做呢，所謂的無互動也就是假設品牌和地區之間是沒有互動作用的，相互不影響，只是彼此單獨對銷量產生影響。
前面單因素方差分析中，我們是用f值去檢驗顯著性的，多因素方差分析也同樣是用f值.
f = 組間方差/組內方差。
對於沒有互動作用的多因素，可以單純理解為多個單因素。也就是你可以單獨去看品牌對銷量的影響，然後再單獨去看地區對銷量的影響。
那單獨怎麼看呢？這就回到了我們前面講過的單因素方差分析。
我們先來計算品牌的組內平方和:
ssa = (每個品牌的均值 - 全部銷量均值)^2*每個品牌內樣本數
= (344.20-328.45)^2*5 + (347.80-328.45)^2*5 + (337.00-328.45)^2*5 + (284.80-328.45)^2*5
= 13004.55
ssb = (每個地區的均值 - 全體銷量均值)^2*每個地區內樣本數
= (339.00-328.45)^2*4 + (330.25-328.45)^2*4 + (339.25-328.45)^2*4 + (318.25-328.45)^2*4
= 2011.7
sst = (每個值-總體均值)^2
= 17888.95
sse = sst - ssa - ssb
有了平方和以後，我們同樣需要求取均方，而均方 = 平方和/自由度。
sst的自由度 = 總水平數 - 1 = 19
ssa的自由度 = 品牌的水平數 - 1 = 3
ssb的自由度 = 地區的水平數 - 1 = 4
sse的自由度 = ssa的自由度*ssb的自由度 = 12
平方和有了，自由度也有了，均方ms也就可以求出來了，接下來進入到最重要的f值求取，
品牌因素的f值 = ssa/sse
地區因素的f值 = ssb/sse
最後可以通過查f值表獲得在置信度為95%的情況下時的f邊界值表，然後和實際的f值作比較，最後做出是否顯著的判斷。如下表：
某交通部門想要知道高峰期與路段是否會對汽車的行車時間有影響，通過人工採集得到了如下資料：
本次分析需要考慮峰期與路段之間的互動作用，某些路段的峰期行車時間可能異常偏高或偏低等。
和無互動作用的多因素方差分析流程類似，我們先計算峰期的平方和：
ssa = (每個峰期內的均值-總體均值)^2*每個峰期內樣本數
= (23.2-20.25)^2*10 + (17.3-20.25)^2*10
= 174.05
ssb = (每個路段內的均值-總體均值)^2*每個路段內樣本數
= (22.4-20.25)^2*10 + (18.1-20.25)^2*10
= 92.45
ssab = (每個路段&峰期內的均值-該路段內的均值-該峰期內的均值+總體均值)^2*每個區間內的樣本數
= (25.4-23.2-22.4+20.25)^2*5 + (21-23.2-18.1+20.25)^2*5 + (19.4-17.3-22.4+20.25)^2*5 + (15.2-17.3-18.1+20.25)^2*5
= 0.05
sst = (每個值-總體均值)^2
= 329.75
sse = sst - ssa - ssb - ssab
ssa的自由度 = 峰期數 - 1 = 1
ssb的自由度 = 路段數 - 1 = 1
ssab的自由度 = ssa的自由度*ssb的自由度 = 1
sse的自由度 = sst的自由度 - ssa的自由度 - ssb的自由度 - ssab的自由度
經過求均方，查f表，就可得到如下表：
上面通過以有無互動作用的雙因素方差分析為例，給大家把多因素方差分析中涉及到的計算過程都演示了一遍，實際工作中我們是不需要自己手動進行計算的，直接通過excel、python都可以計算得到。以後專門講解工具如何實現。
通過上面的多因素方差分析，我們就可以得出來不同因素對某一目標值(銷量/行車時間等)的影響情況，你可能會有這樣的疑問，那這和多元回歸有什麼區別呢？多元回歸不也是求取多個x和乙個y的關係麼？那這兩個是一樣的嗎？
還是有些不太一樣的，方差分析只是告訴你某個因素的影響顯著不顯著，而沒有告你影響有多大，回歸分析是告訴你具體影響有多大。方差分析是一種定性分析，解決有沒有的問題；回歸分析是一種定量分析，解決有多少的問題。
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