簡單分析動態規劃 01揹包

01揹包問題：假設你有乙個揹包，可以裝4㎏東西，但是你有很多東西比如；錘子（1000元，1kg），棒子（1500元，2kg），棍子（2000元，1kg）…等。你要怎麼樣在你的書包裡放入組合起來價值最大的物品。簡而言之，在有限的空間怎樣搭配才可以裝入最大價值的東西，並且物品不重複。

窮舉法：把所有的可能性都列舉出來，然後一一對比，可以達到乙個解決問題的目的，但是可選擇的物品如果多一些，從時間上和效率上，並不可取。

動態規劃與分治演算法類似，都是把大問題拆分成小問題，但是不同於分治演算法的是，動態規劃拆分後的每個小問題的解都取決與上乙個問題的解，動態規劃裡的每個結果都是互相依賴的，最後的結果也是一層一層的推出來的，就好像是填表，一張結果有序的表，是不是得從上往下或從左到右依次計算然後填上結果，為什麼呢，因為計算出本次的值才方便計算下乙個值，動態規劃也是一樣的思想。在動態規劃裡表的最後乙個值就是結果。

物品的重量羅列出來,放入w陣列中

int[ ] w =

物品價值也羅列出來，放入val陣列

int[ ] val =

揹包的容量儲存下來，記作m

int m = 4；

物品個數也儲存下來，記作n

int n = val.length；

建立二維陣列儲存每次放入的結果。

int [ ] [ ] v = new int [n + 1] [m + 1]

往揹包裡放入物品的話有兩種情況

第一，包的容量比該商品體積小，裝不下，此時的價值與前i-1個的價值是一樣的，即 v [ i ] [ j ] = v[ i - 1 ] [ j ]

第二，還有足夠的容量可以裝該商品，但裝了也不一定達到當前最優價值，所以在裝與不裝之間選擇最優的乙個，即 v [ i ] [ j ] = math.max(v [i - 1] [ j ] , val [ i - 1] + v[ i - 1] [ j - w[ i - 1] ])

得出兩個遞推關係式：（比較重要重點理解）

如果 w[ i ] > j

v [ i ] [ j ] = v[ i - 1 ] [ j ]

如果w[ i ] < j

v [ i ] [ j ] = math.max(v [i - 1] [ j ] , val [ i - 1] + v[ i - 1] [ j - w[ i - 1] ])

然後就可以根據這兩個公式乙個乙個的填表

public
class
knapsackproblem
;//物品得價值
int[
] val =
;// 揹包得容量
int m =4;
//物品得個數
int n = val.length;
// 建立二維陣列
// v[i][j] 表示前i個物品中能夠裝入容量為j得揹包
//中得最大價值
int[
] v =
newint
[n +1]
[m +1]
;// 初始化第一行和第一列
for(
int i =
0; i < v.length; i++
)for
(int i =
0; i < v[0]
.length; i++
)// 為了記錄儲存記錄 定義乙個陣列
int[
] path =
newint
[n+1
][m+1]
;// 根據公式取動態處理揹包問題
//不處理第一行
for(
int i =
1; i < v.length; i++
)else
if(v[i -1]
[j]< val[i -1]
+                     v[i -1]
[j - w[i -1]
])}}
}for
(int i =
0; i < v.length; i++
)            system.out.
println()
;}system.out.
println
("***************");
// 我們只需要最後乙個策略 所有倒著遍歷
int i = path.length -1;
int j = path[0]
.length -1;
while
(i >
0&& j >0)
i--;}
}}

動態規劃核心思想就是用上乙個最優結果推出下乙個最優結果，就減少了很多的重複計算，每次得到的結果都是建立在上乙個最優解上，所以每次得到的結果也是最優解，進而可以推出下一次的最優解，這就是動態規劃很精妙的地方。

禿頭萌新一枚希望可以幫助到大家理解

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