時域卷積定理和頻域卷積定理，在這裡只需要記住兩點：
1.在乙個域的相乘等於另乙個域的卷積；
2.與脈衝函式的卷積，在每個脈衝的位置上將產生乙個波形的映象。
對於乙個模擬訊號，如圖(1)所示，要分析它的頻率成分，必須變換到頻域，這是通過傅利葉變換即ft(fourier transform)得到的，於是有了模擬訊號的頻譜，如圖(2)；
注意1：時域和頻域都是連續的！
計算機只能處理數碼訊號，首先需要將原模擬訊號在時域離散化，即在時域對其進行取樣，取樣脈衝序列如圖(3)所示，該取樣序列的頻譜如圖(4)，可見它的頻譜也是一系列的脈衝。
時域取樣：在時域對訊號進行相乘
(1)×(3)後可以得到離散時間訊號x[n]，如圖(5)所示；由前面的性質1，時域的相乘相當於頻域的卷積，那麼，圖(2)與圖(4)進行卷積，根據前面的性質2知，會在各個脈衝點處出現映象，於是得到圖(6)，它就是圖(5)所示離散時間訊號x[n]的dtft(discrete time fourier transform)，即離散時間傅利葉變換，這裡強調的是「離散時間」四個字。注意2：此時時域是離散的，而頻域依然是連續的。
經過上面兩個步驟，我們得到的訊號依然不能被計算機處理，因為頻域既連續，又週期。我們自然就想到，既然時域可以取樣，為什麼頻域不能取樣呢？這樣不就時域與頻域都離散化了嗎？沒錯，接下來對頻域進行取樣，頻域取樣訊號的頻譜如圖(8)所示，它的時域波形如圖(7)。
現在我們進行頻域取樣，即頻域相乘，圖(6)×圖(8)得到圖(10)，那麼根據性質1，這次是頻域相乘，時域卷積了吧，圖(5)和圖(7)卷積得到圖(9)，不出所料的，映象會呈週期性出現在各個脈衝點處。我們取圖（10）週期序列的主值區間，並記為x(k)，它就是序列x[n]的dft(discrete fourier transform)，即離散傅利葉變換。
可見，dft只是為了計算機處理方便，在頻率域對dtft進行的取樣並擷取主值而已。有人可能疑惑，對圖(10)進行idft，回到時域即圖(9)，它與原離散訊號圖(5)所示的x[n]不同呀，它是x[n]的週期性延拓！沒錯，因此你去查詢乙個idft的定義式，是不是對n的取值區間進行限制了呢？這一限制的含義就是，取該週期延拓序列的主值區間，即可還原x[n]！
fft呢？fft的提出完全是為了快速計算dft而已，它的本質就是dft！我們常用的訊號處理軟體matlab或者dsp軟體包中，包含的演算法都是fft而非dft。
卷積：線性時不變系統裡才有的運算。兩個訊號的卷積是把乙個訊號看作系統衝激響應來推演。
迴圈卷積：
可以理解為dft運算的衍生品
dft\dtft\dfs關係
迴圈卷積
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