次小生成樹（倍增 lca）

題目描述

給定一張 n 個點 m 條邊的無向圖，求無向圖的嚴格次小生成樹。

設最小生成樹的邊權之和為sum，嚴格次小生成樹就是指邊權之和大於sum的生成樹中最小的乙個。

輸入格式

第一行包含兩個整數n和m。

接下來m行，每行包含三個整數x，y，z，表示點x和點y之前存在一條邊，邊的權值為z。

輸出格式

包含一行，僅乙個數，表示嚴格次小生成樹的邊權和。(資料保證必定存在嚴格次小生成樹)

資料範圍

n≤105,m≤3∗105

輸入樣例

5 61 2 1

1 3 2

2 4 3

3 5 4

3 4 3

4 5 6

輸出樣例

11

題目分析

這道題是秘密的牛奶運算的加強版，如果之前沒做過次小生成樹類似的題目的話建議先看看這道題。本題是對於這道題的做法進行了乙個倍增的優化。

解題步驟：

我們首先要求出最小生成樹，並記錄最小生成樹所包含的邊。

將這個最小生成樹單獨建成圖。

這道題的的資料範圍比較大，暴力預處理圖上任意兩點間路徑上的最大值和次大值會直接tle，因此我們需要對這個過程進行乙個優化。我們可以發現，在一棵樹上，任意兩點a和b之間的路徑即為：a到a和b最大公共祖先p的路徑+b到p的路徑。因此我們可以用求最小公共祖先的演算法（倍增法）來進行乙個優化：

depth[i] //i節點的深度

fa[i][j] //表示i節點向上跳2^j步後到達的節點

d1[i][j] //表示i節點向上跳2^j步的路徑上的最大邊權

d2[i][j] //表示i節點向上跳2^j步的路徑上的次大邊權對於如何預處理出這三個陣列，我們可以參考倍增法求lca的過程。

fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]; //fa[i][j]的值即為i節點向上跳2^j-1步得到的節點再向上跳2^j-1步後得到的節點。

d1[i][j]和d2[i][j]的值一定會在這四個之數中。因為，i向上跳2j步的路徑即為：i向上跳2j-1步的路徑+fa[i][j-1]向上跳2j-1步的路徑。因此我們可以直接列舉這四個值來獲得d1[i][j]和d2[i][j]。

列舉所有的非樹邊（u,v,w），並將這條非樹邊加入到樹中。給最小生成樹加上一條邊之後，這個圖必定會形成乙個環，然後我們就可以在這個環上找出除該非樹邊之外的最大邊dmax1和次大邊dmax2。

我們可以求出並記錄u和v分別到其最近公共祖先p的路徑上產生的所有最大值和次大值。然後列舉所有這些最大值和次大值，並找出它們的最大值和次大值即為最大邊dmax1和次大邊dmax2。當w>dmax1時，我們為了得到次小生成樹，我們要讓生成樹的總邊權增加量最小，即加入非樹邊（u,v,w），刪除最大邊dmax1。

當w==dmax1時，用最大邊dmax1替換該非樹邊，得到的還是最小生成樹，因此，我們需要用次大邊來替換該非樹邊。

**如下

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define pii pair
#define x first
#define y second
using
namespace std;
const
int n=
1e5+
5,m=
3e5+
5,inf=
0x3f3f3f3f
;struct edge
}edge[m]
;int h[n]
,e[m]
,w[m]
,ne[m]
,idx;
int p[n]
;int depth[n]
,fa[n][17
],d1[n][17
],d2[n][17
];void
add(
int a,
int b,
int c)
//加邊函式
intfind
(int x)
//並查集
ll kruskal
(int m)
//kruskal演算法求最小生成樹
}return res;
}void
build
(int m)
//建圖
}int q[n]
;void
bfs();
d1[v]
[k]=d2[v]
[k]=
-inf;
for(
int j=
0;j<
4;j++
)//從這四個數中找最大值和次大值}}
}}}int
lca(
int a,
int b,
int w)
//求最小生成樹加入該非樹邊之後，得到的次小生成樹的值
if(a!=b)
dist[cnt++
]=d1[a][0
];//因為a和b只是跳到了p的下一層，所以還要記錄a和b到p的邊權
dist[cnt++
]=d1[b][0
];}int d1=
-inf,d2=
-inf;
for(
int i=
0;i)//列舉這個過程產生的所有值，找出最大值和次大值
if(w>d1)
return w-d1;
if(w>d2)
return w-d2;
return inf;
}int
main()
;}ll sum=
kruskal
(m);
//先求出該圖的最小生成樹
build
(m);
//建圖
bfs();
//預處理出需要的幾個陣列
ll ans=
1e18
;for
(int i=
0;i(!edge[i]
.used)
//列舉所有非樹邊
printf
("%lld\n"
,ans)
;return0;
}

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