看了就會的大整數乘法運算與分治演算法

在資料加密處理中有很多複雜的加密演算法，這些加密演算法往往會用到很多超大的整數運算。不過，程式語言對資料的大小會有一定的限制，資料太大就會出現資料溢位的情況，這是無法進行大整型資料運算的。本文將和大家一起學習如何實現大整數的資料運算，本文**我們使用c++實現。

對於乘數運算有一種比較簡單較為容易理解的方法，我們可以利用小學時期學的列豎式的計算方法進行乘法運算。

參考上圖中的列豎式計算方法，我們進行**實現。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
std::string multiply
(std::string a, std::string b)
}int n =  a.
size()
+ b.
size()
;int sum[n]
;memset
(sum,0,
sizeof
(int
)*n)
;for
(int n =
0; n < n; n++
)            
i++;            j--;}
if( n+
1< n )
}bool zerostartflag =
true
;for
(int i = n-
1; i >=
0; i--
)        
zerostartflag =
false
;        result.
(std::
to_string
(sum[i]))
;}return result;
}int
main()

為了方便我們先將各個乘數做了翻轉處理，最後需要再將結果翻轉回來。在運算過程中用來存放乘法運算結果的陣列，我們沒有進行移位處理同列相加，而是對角線相加，這樣可以減少空間和運算步驟。上面的**執行結果如下所示。

因為字串的長度沒有特別的限制，所以上面的演算法可以適用大整數運算。

雖然上面的列豎式的方法可以很好的解決大整數乘法的問題，但是我們還用一種更加高效的方法可以選擇，這就是分治（divide and conquer）演算法。它是一種非常重要的演算法，可以應用到很多領域，比如快速排序，二分搜尋等。從演算法的名字我們可以看出它是將大的問題拆分進行細化，由大變小，先將小的問題解決，最終將這個問題解決，所以叫divide and conquer。在這裡我們可以通過這種方法將大整數進行拆分，拆分成乙個個可以通過程式語言直接進行運算的小整進行計算，最後求得到大整數的值。

假設有兩個大整數，我們設為a（大小為n位）和b（大小為m位），這裡我們將使用二分法對資料進行拆分，這兩個整數我們可以分解為：

a =a

1∗10

n/2+

a0a = a_1 * 10^ + a_0

a=a1∗

10n/

2+a0b=

b1∗1

0m/2

+b0b = b_1 * 10^ + b_0

b=b1∗

10m/

2+b0

則,

3=a1b1

z_3 = a_1b_1

z3=a1

z 2=

a1b0

z_2 = a_1b_0

z2=a1

z 1=

a0b1

z_1 = a_0b_1

z1=a0

z 0=

a0b0

z_0 = a_0b_0

z0=a0

根據上面公式裡，我們可以將a*b分解為四個小的整數的乘法，即z3,z2,z1,z0四個表示式。如果分解出來的乘法數值還是很大，還可以按照同樣的方法進行拆解直到拆解成較小的數值乘法，直到計算機程式語言可以直接運算。

比如，上面的3456和1234相乘，參考下圖通過二分法逐級對整數進行拆分，我們將兩個整數拆分到一位整數進行運算。

下面我們看一下分治演算法的**實現，這裡我們使用遞迴的方法。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
std::string add
(std::string a, std::string b)
}    std::string result="";
bool zerostartflag =
true
;for
(int i = n-
1; i >=
0; i--
)        
zerostartflag =
false
;        result.
(std::
to_string
(sum[i]))
;}return result;
}std::string divideandconquer
(std::string a, std::string b)
int n = a.
size()
;int m = b.
size()
;int halfn = n/2;
int halfm = m/2;
std::string a0 =
"0";
std::string a1 =
"0";
if(a.
size()
> halfn && halfn >0)
else
std::string b0 =
"0";
std::string b1 =
"0";
if(b.
size()
> halfm && halfm >0)
else
std::string a1b1 =
divideandconquer
(a1, b1)
;    std::string a0b0 =
divideandconquer
(a0, b0)
;    std::string a1b0 =
divideandconquer
(a1, b0)
;    std::string a0b1 =
divideandconquer
(a0, b1)
;    
a1b1.
((n - halfn)
+(m - halfm)
,'0');
a1b0.
(n - halfn,
'0')
;    a0b1.
(m - halfm,
'0')
;    std::string result ="";
result =
add(a1b1, a1b0)
;    result =
add(result, a0b1)
;    result =
add(result, a0b0)
;return result;
}int
main()

程式的執行結果如下：

看了就會的大整數乘法運算與分治演算法

分治大整數乘法

分治大整數乘法

分治演算法大整數乘法

看了就會的大整數乘法運算與分治演算法

分治 大整數乘法

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