sg函式的分析與推導
小習題簡介：
這個在我之前推導博弈論的題目時就有了比較深刻的概念和印象，對於必勝點的推導與總結是博弈論的必經之路。
p點：必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。
n點：必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。
1、所有終結點是 必敗點 p 。（我們以此為基本前提進行推理，換句話說，我們以此為假設）
2、從任何必勝點n 操作，至少有一種方式可以進入必敗點 p。
3、無論如何操作，必敗點p 都只能進入 必勝點 n。
在競賽中，組合遊戲的題目一般有以下特點
題目描述一般為
a，b 2人做遊戲
a b交替進行某種遊戲規定的操作，每操作一次，選手可以在有限的操作（操作必須合法）集合中任選一種。
對於遊戲的任何一種可能的局面，合法的操作集合只取決於這個局面本身，不取決於其它因素（跟選手，以前的所有操作無關）
如果當前選手無法進行合法的操作，則為負
我們以取石子問題為例
有1堆n個的石子，每次只能取個石子，先取完石子者勝利，那麼各個數的sg值為多少？
這題非常直白的問你sg的值是多少？但是我們如果拋開這個sg不看，仔細觀察這個題面，你可以總結出一些很明顯的特徵
1.2人的公平遊戲
2.交替操作
3.操作方法一樣
4.無法操作的時候為負（這點其實非常重要，在後面的題目中有涉及到）
我們發現這其實就是乙個模型，就像二分圖，dp那些題目都有乙個固定的模型，我們解決這道題目就必須找出模型裡面的要素，上面的四個要素便是博弈論或者說是公平組合遊戲中最重要的四個要素。
到這裡我們就需要了解sg函式的概念了
遊戲和的sg函式等於各個遊戲sg函式的nim和。這樣就可以將每乙個子遊戲分而治之，從而簡化了問題。而bouton定理就是sprague-grundy定理在nim遊戲中的直接應用，因為單堆的nim遊戲 sg函式滿足 sg(x) = x。
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於乙個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的最小非負整數。例如mex=3、mex=0、mex{}=0。
對於任意狀態 x ， 定義 sg(x) = mex(s),其中 s 是 x 後繼狀態的sg函式值的集合。如 x 有三個後繼狀態分別為 sg(da),sg(db),sg(dc)，那麼sg(x) = mex。 這樣 集合s 的終態必然是空集，所以sg函式的終態為 sg(x) = 0,當且僅當 x 為必敗點p時
下面這裡就是介紹這道題目的思路（貼得別人寫的思路）：
sg[0]=0，f=,
x=1 時，可以取走1 - f個石子，剩餘個，所以 sg[1] = mex= mex = 1;
x=2 時，可以取走2 - f個石子，剩餘個，所以 sg[2] = mex= mex = 0;
x=3 時，可以取走3 - f個石子，剩餘個，所以 sg[3] = mex = mex =1;
x=4 時，可以取走4- f個石子，剩餘個，所以 sg[4] = mex = mex = 2;
x=5 時，可以取走5 - f個石子，剩餘個，所以sg[5] = mex =mex = 3;
以此類推…
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8…
sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1…
由上述例項我們就可以得到sg函式值求解步驟，那麼計算1~n的sg函式值步驟如下：
1、使用 陣列f 將 可改變當前狀態 的方式記錄下來。
2、然後我們使用 另乙個陣列 將當前狀態x 的後繼狀態標記。
3、最後模擬mex運算，也就是我們在標記值中 搜尋 未被標記值 的最小值，將其賦值給sg(x)。
4、我們不斷的重複 2 - 3 的步驟，就完成了 計算1~n 的函式值。
**：
//f[n]:可改變當前狀態的方式，n為方式的種類，f[n]要在getsg之前先預處理
//sg:0~n的sg函式值
//s:為x後繼狀態的集合
int f[n]
,sg[maxn]
,s[maxn]
;void
getsg
(int n)
}}
杭電小習題
**：
#include
using
namespace std;
const
int n =
1000
;typedef
long
long ll;
int n ,m , p;
ll f[n+10]
;ll s[n+10]
;ll sg[n+10]
;int
main()
memset
(sg ,-1
,sizeof sg)
; sg[0]
=0;for
(int i =
1;i <= n ; i ++
)for
(int j =0;
; j ++)}
}while(~
scanf
("%d %d %d"
,&n ,
&m ,
&p))
else
puts
("nacci");
}}
SG函式和SG定理 詳解
在介紹sg函式和sg定理之前我們先介紹介紹必勝點與必敗點吧.必勝點和必敗點的概念 p點 必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。n點 必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。必勝點和必敗點的性質 1 所有終結點是 必敗點 p 我們以此為基本前提進行推理，換句話說，...
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