正則曲線(切向量不為零)>>切線》弧長（度量）>>活動標架》曲率撓率》基本公式》基本定理
典例正則曲面》切平面》度量(第一基本形式)>>活動標架》區域性形狀（第二基本形式）>>基本公式》基本定理
光滑曲面（c^無窮）的
r=r(u,v)
u=u0 的u曲線 v=v0 的v曲線 座標曲線
過點與面相切的平面
u曲線的切向量 r』v
v曲線的切向量 r』u
稱為座標向量
座標曲線網：u,v曲線構成典例：
平面：r=r0+ua+vb(a,b不平行)
球面：x^(2) + y^(2) +z^(2) = a^(2) 平角為u 立角v
r=(acosvcosu,acosvsinu,asinv) u在（0，2pi）為了保證區域（區域是開集）v在（-pi/2,p/2）
切平面:
曲面上的一般曲線u=u(t);v=v(t)
r=r(u(t),v(t))
r'=r'uu'+r'vv'（曲線的切向量可由r'u和r'v線性表示，反之如何證明：？）
設ar'u+br'v在切平面，令：曲線為 u=u0+at v=v0+bt
r'=r'ua+r'vb 以上說明：切平面上的任意向量的卻為某一曲線的切向量
t=span
方程形式：t=ρ(a,b)=r0+ar』u+br』v
如此可將t寫成：
點法式：(p-r0)chacheng n=0
切平面的單位法向量n：r』u r』v的叉乘除以內積的模
點位式：混合積為零：(p-r0，r』u,r』v)=0
混合積的幾何意義: 幾何上,由三個向量定義的平行六面體,其體積等於三個標量標量三重積的絕對值:
曲面方程的形式
方程的另一形式：隱函式f（x,y,z）=0
由隱函式存在性定理可知：
f』z不等於零則z可表達為xy的顯式函式 其他同理
法向量：▽f=（f』x,f』y,f』z）只要有乙個不等於零，向量不為零
顯示方程表示的函式一定是正則曲面（前提c^k）
隱函式定理
? 存在唯一性定理
? 可微性定理
說得簡單一些吧，現在已經兩個變數之間的乙個關係：f(x,y）=0，能否確定乙個函式關係，即y=f(x)？，由鏈式求導法則可知，對y偏導做分母應不為零。（注：需滿足連續，可導等前提）
隱函式存在定理與幾何解釋
看看以上的變數（t）是否為引數不變數 可定向曲面：若單位法向量眼任意曲線移動後回到原來的位置不變 反例：莫比烏斯帶
σ：d ----》 d~
（u,v）-》（u,v）
滿足：σ是一一的
σ σ-1在d上是ck的
雅可比行列式（叉乘結果為實數） 偏導數（u,v）/偏導數（u,v） 不為零（保證正則性的）
（r』u）=r』u*pianu/painu+r』vpianv/painu~
（r』v）=r』u*pianu/painv+r』vpianv/painv~ 全導數
可得：（u~ ， v~）=雅可比矩陣（u,v） 當雅可比矩陣大於零時保證變換是同向的
命題：曲面的切屏面實在引數變換（可允許的）下不變的
上邊的公式已經證明了法線的方向是不變的 同時切點不變 顯然得證
練習題4：
第一小問：不需要證明 交換後仍為正交標價 只需證明其為兩兩正交的單位向量即可
第二小問：正交矩陣進行偶次交換得到的行列式不變（1或-1）
（設a是正交矩陣，
則 aa^t=e，兩邊取行列式得
|aa^t| = |e| = 1
而 |aa^t| = |a||a^t| = |a||a| = |a|^2
所以 |a|^2= 1
所以 |a| = 1 or -1. ）
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