在數論，對正整數n，尤拉函式是小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目
φ（x）=x∏i=
1n(1
−1pi
)\prod_^n)}
∏i=1n
(1−p
i1
) (其中p1, p2……pn為x的所有質因數)
我覺得網上許多部落格的證明不太嚴謹，我嚴格證明一下
首先明白兩個性質
1：當n=p
kp^k
pk(且p是質數的情況下) φ（n）=p
kp^k
pk- p k−
1p^
pk−1
因為顯然n的質因子只有乙個就是p，那麼1-n中不和他互素的就是因子含有p的數即 p×1,p×2,p×3… p×pk−
1p^
pk−1
即總共有pk−
1p^
pk−1
個數，而總數有pkp^
pk，那麼結果就是pkp^
pk-p k−
1p^
pk−1
2：尤拉函式是積性函式，但不是完全積性函式。若m,n互質，則φ(m∗n)=φ(m)∗φ(n)，這個我不會證明，直接看維基百科的證明吧：證明：設a, b, c是跟m, n, mn互質的數的集，據中國剩餘定理，a×b×c可建立雙射(一一對應)的關係
而x=p1k
1^
p1k1
×p 2k
2^
p2k2
×p 3k
3^
p3k3
…p nk
n^
pnkn
φ（x）=(p1k
1^
p1k1
- p 1k
1−
1^-1}
p1k1
−1)(p 2k
2^
p2k2
- p 2k
2−
1^-1}
p2k2
−1)…(pnk
n^
pnkn
- p nk
n−
1^-1}
pnkn
−1)=x∏i=
1n(1
−1pi
)\prod_^n)}
∏i=1n
(1−p
i1
)1：對於質數p，φ ( p )=p−1。顯然
2：…還有一些其他性質，暫時不要用到，先不再學習
複雜度是n×n
2\sqrt[2]
2n
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define fi first
#define se second
#define debug printf("i am here\n");
using
namespace std;
typedef
long
long ll;
const
int maxn=
3e5+
5,inf=
0x3f3f3f3f
,mod=
998244353
,lim=
1e7+
5e6;
const ll inf=
0x3f3f3f3f3f3f3f3f
;int t,n;
inteuler
(int x)}}
if(x!=1)
return ans;
}int
main()
return0;
}
void
euler
(int n)
for(
int i=
2;i<=n;i++)}
}}
前提是要懂尤拉篩。每個數被最小的因子篩掉的同時，再進行判斷。i表示當前做到的這個數，prime[j]表示當前做到的質數，那要被篩掉的合數就是i*prime[j]。若prime[j]在這個合數里只出現一次（i%prime[j]!=0），也就是i和prime[j]互質時，則根據尤拉函式的積性函式的性質，phi[i * prime[j]]=phi[i] * phi[prime[j]]。若prime[j]在這個合數里出現了不止一次（i%prime[j]=0），也就是這個合數的所有質因子都在i裡出現過，那麼根據公式，φ(i * prime[j])=prime[j] * i *∏i=
1n(1
−1pi
)\prod_^n)}
∏i=1n
(1−p
i1
) 。複雜度為o(n)。
還是看**吧：
void
euler
(int n)
for(
int j=
1;j<=num&&prime[j]
*i<=n;j++
)//經典的尤拉篩寫法
else}}
}
尤拉函式入門
鏈結 尤拉函式就是 n 不 超過n且 與n互素 的正整數 的個數 n 不超 過n且與 n互素的 正整數的 個數，尤拉函式是乘 積 性函式，所以對於兩個任意互素的n,m都存在f n m f n f m f n m f n f m 乘性函式性質 對於任意正整數n,m都存在f n m f n f m f ...
尤拉函式入門
對正整數n，尤拉函式是小於n的正整數中與n互質的數的數目 1 1 例如 8 4，因為1,3,5,7均和8互質。性質 若n是素數p的k次冪，n p k p k 1 p 1 p k 1 因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質 尤拉函式是積性函式 若m,n互質，mn m n phi p p 1 p為質數 當...
尤拉函式 尤拉定理
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