矩陣翻硬幣

問題描述

小明先把硬幣擺成了乙個 n 行 m 列的矩陣。

隨後，小明對每乙個硬幣分別進行一次 q 操作。

對第x行第y列的硬幣進行 q 操作的定義：將所有第 ix 行，第 jy 列的硬幣進行翻轉。

其中i和j為任意使操作可行的正整數，行號和列號都是從1開始。

當小明對所有硬幣都進行了一次 q 操作後，他發現了乙個奇蹟——所有硬幣均為正面朝上。

小明想知道最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。於是，他向他的好朋友小m尋求幫助。

聰明的小m告訴小明，只需要對所有硬幣再進行一次q操作，即可恢復到最開始的狀態。然而小明很懶，不願意照做。於是小明希望你給出他更好的方法。幫他計算出答案。

輸入格式

輸入資料報含一行，兩個正整數 n m，含義見題目描述。

輸出格式

輸出乙個正整數，表示最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。

樣例輸入

2 3樣例輸出

1資料規模和約定

對於10%的資料，n、m <= 10^3；

對於20%的資料，n、m <= 10^7；

對於40%的資料，n、m <= 10^15；

對於10%的資料，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

問題分析：根據題意要求反面朝上的硬幣的數目，即需要求翻動次數為奇數的硬幣的數量。因為初始狀態所有硬幣都是正面朝上，翻動次數為奇數，則最終反面朝上。翻動次數為偶數，則最終正面朝上。假設硬幣所在位置(i,j),要求硬幣的翻動次數。即要求（i的約數的個數）（j的約數的個數）。兩個數相乘要結果為奇數，只能是兩個奇數相乘。故要尋找i的約數個數為奇數並且j的約數個數為奇數的點（i,j）。一般數的約數個數為偶數，因為約數一般都是成對出現的。只有完全平方數的約數個數為奇數（因為有兩個相同的約數，其餘約數都是成對出現的）。因此，要尋找的點（i，j）是i是完全平方數，j也是完全平方數。給定乙個數m，在1~m範圍內，完全平方數的個數為sqrt(m).故本題即要求sqrt(m)sqrt(n).因為m，n的範圍比較大，涉及到大數操作。

大數求根演算法：給定乙個數n,它的位數是len,如果len為偶數，則他的平方根的位數為len/2.如果len為奇數，那麼它的平方根的位數為len/2+1.

知道了位數之後，即可從高位到低位計算平方根。比如要求250的平方根。平方根的位數為2.

首先求最高位

（1）1010=100<250

（2）2020=400>250（故最高位為1）

再求次高位

（3）1111=121<250

（4）1212=144<250

。。。。。

（5）1515=225<250

（6）1616=256>250（故次高位為5）

結果為15.

以此類推，直到求到最低位。

#include

#define maxn 1100

char n[maxn];

char m[maxn];

int sqrtn_ans[maxn];

int sqrtm_ans[maxn];

int mul_ans[maxn];

int temp1[maxn];

int sqrt(int ans,char n);

int compare(int a,int b,int len1,int len2);

int mul(int ans,int a,int b,int len1,int len2);

int add(int ans,int b,int len1,int len2);

int main()

//求大數的平方根，先將字串陣列轉換成整型陣列，然後在求平方根，運算結果儲存在ans中，

//函式返回運算結果的位數

int sqrt(int ans,char n)

if(flag1)

ans[i]–;

else if(flag0)

break;

}return anslen;

}//高精度*高精度乘法運算，陣列a和b中存放兩個運算元，a的長度為len1,b的長度為len2,

//運算結果儲存在ans中，函式返回運算結果的位數

int mul(int ans,int a,int b,int len1,int len2)

return i+1;

}//比較兩個運算元的大小，若相等則返回0，否則若a>b，返回1，alen2)

return 1;

else if(len1=0;i–)

}return 0;

}

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