歷屆試題矩陣翻硬幣

問題描述

小明先把硬幣擺成了乙個 n 行 m 列的矩陣。

隨後，小明對每乙個硬幣分別進行一次 q 操作。

對第x行第y列的硬幣進行 q 操作的定義：將所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬幣進行翻轉。

其中i和j為任意使操作可行的正整數，行號和列號都是從1開始。

當小明對所有硬幣都進行了一次 q 操作後，他發現了乙個奇蹟——所有硬幣均為正面朝上。

小明想知道最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。於是，他向他的好朋友小m尋求幫助。

聰明的小m告訴小明，只需要對所有硬幣再進行一次q操作，即可恢復到最開始的狀態。然而小明很懶，不願意照做。於是小明希望你給出他更好的方法。幫他計算出答案。

輸入格式

輸入資料報含一行，兩個正整數 n m，含義見題目描述。

輸出格式

輸出乙個正整數，表示最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。

樣例輸入

2 3樣例輸出

1資料規模和約定

對於10%的資料，n、m <= 10^3；

對於20%的資料，n、m <= 10^7；

對於40%的資料，n、m <= 10^15；

對於10%的資料，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

問題分析：根據題意要求反面朝上的硬幣的數目，即需要求翻動次數為奇數的硬幣的數量。因為初始狀態所有硬幣都是正面朝上，翻動次數為奇數，則最終反面朝上。翻動次數為偶數，則最終正面朝上。假設硬幣所在位置(i,j),要求硬幣的翻動次數。即要求（i的約數的個數）*（j的約數的個數）。兩個數相乘要結果為奇數，只能是兩個奇數相乘。故要尋找i的約數個數為奇數並且j的約數個數為奇數的點（i,j）。一般數的約數個數為偶數，因為約數一般都是成對出現的。只有完全平方數的約數個數為奇數（因為有兩個相同的約數，其餘約數都是成對出現的）。因此，要尋找的點（i，j）是i是完全平方數，j也是完全平方數。給定乙個數m，在1~m範圍內，完全平方數的個數為sqrt(m).故本題即要求sqrt(m)*sqrt(n).因為m，n的範圍比較大，涉及到大數操作。大數求根演算法：給定乙個數n,它的位數是len,如果len為偶數，則他的平方根的位數為len/2.如果len為奇數，那麼它的平方根的位數為len/2+1. 知道了位數之後，即可從高位到低位計算平方根。比如要求250的平方根。平方根的位數為2. 首先求最高位（1）10*10=100<250 （2）20*20=400>250（故最高位為1）再求次高位（3）11*11=121<250 （4）12*12=144<250 。。。。。（5）15*15=225<250 （6）16*16=256>250（故次高位為5）結果為15.

以此類推，直到求到最低位。（源至

至於執行一次q翻轉過程，詳細過程這個部落格有：

// 大數乘法；大數開根號；比較大數的大小；

#include#include#includeusing namespace std;

const int max=1100;

string s1,s2; // n,m;

int len1,len2; // 記錄開根號後大數的位數；

int sqrta[max],sqrtb[max];

int a[max];

int temp[max],ans[max];

int compare(int a,int b,int len1,int len2)

// 將s開根號,儲存在a中,並且返回開根號後a的位數；

int sqrtnum(int *a,string s)

if(flag==0) break;

else if(flag==1) a[i]--;

}return len;

}int main()

{ memset(sqrta,0,sizeof(sqrta));

memset(sqrtb,0,sizeof(sqrtb));

cin>>s1>>s2;

len1=sqrtnum(sqrta,s1);

len2=sqrtnum(sqrtb,s2);

int len=mul(ans,sqrta,sqrtb,len1,len2);

for(int i=len-1;i>=0;i--)

cout<

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