翻硬幣問題

翻硬幣問題有好幾種。

其中的一種是這樣的：

桌子上有q = m + n枚硬幣，m正面朝上，n枚反面朝上，每一輪翻p枚，在每一輪翻幣的時候，被翻的同一枚硬幣只能翻一次。問最少多少次能把所有的硬幣翻成全部正面或者反面朝上？根據問題的描述，問題實際上隱含：m 、n、 p > 0，m + n > p。

這個問題往往是計算機程式設計的問題。涉及廣度優先還是深度優先搜尋。

我對廣度優先還是深度優先搜尋了解的甚少。以下是用笨辦法求解的。

1) 幣面狀態數：用 (正面朝上幣數, 反面朝上幣數 )表示，顯然初始狀態是( m, n )。

假設第一輪翻幣翻反面（或者正面）的硬幣數為:i1<=n，則第一輪翻幣分別翻正面（或者反面）的硬幣數為:p - i1 ( m – ( p - i1 ) + i1, n - i1 + ( p - i1 ) ) = ( m – p + 2 * i1 , n + p - 2 * i1)

第二輪翻幣翻反面（或者正面）的硬幣數為:i2< n + p - 2 * i1，則第二輪翻幣分別翻正面（或者反面）的硬幣數為:p – i2 < m – p + 2 * i1, 此時幣面狀態數為：

( m – p + 2 * i1 – ( p – i2 ) + i2, n + p - 2 * i1 + p - 2 * i2)

= ( m – 2 * p + 2 * ( i1 + i2 ) , n + 2 * p - 2 * ( i1 + i2 ) )

第三輪幣面狀態數：

( m – 3 * p + 2 * ( i1 + i2 + i3) , n + 3 * p - 2 * ( i1 + i2 + i3) )

……………………………………………………

第k輪幣面狀態數：

( m – k * p + 2 * ( i1 + i2 + … + ik) , n + k * p - 2 * ( i1 + i2 + … + ik) )

簡記：t = i1 + i2 + … + ik，則第k輪幣面狀態數可以標示為：

( m – k * p + 2 * t , n + k * p - 2 * t )

2) 完成翻幣條件

如果在某一輪翻幣後，正面幣數或者反面幣數能被p整除（其中之一等於零也被包含），則以後的每一輪全翻那個幣面數能被p整除的那一部分就可以完成翻幣，這一段話的意思就是：

m – k * p + 2 * t = s * p

或：n + k * p - 2 * t = s * p

稍微變換一下：

m – k * p + 2 * t = s * p —> ( s + k ) * p – 2 * t = m

或：n + k * p - 2 * t = s * p —> ( s – k ) * p + 2 * t = n

因此問題轉換為求解不定方程：

( s + k ) * p – 2 * t = m

或者( s – k ) * p + 2 * t = n

隱含條件：t >= 0, k >= 0, s >= 0, 如果t > 0, k > 0, s >= 0

m – k * p + 2 * t >= 0, n + k * p – 2 * t <= m + n —> k * p – 2 *ｔ <= ｍ

同時還必須：m – k * p + 2 * t <= m + n —> 2 * t – k * p <= n, n + k * p – 2 * t >= 0

3) 二元一次不定方程的整數解

二元一次方程的一般形式：

ax + by = c

其中a、b、c不為零，如果限定a、b、c是整數，而且限定求整數解，則關於二元一次方程有乙個定理：

定理1：設整係數二元一次不定方程：ax + by = c，假設d是a、b的最大公因數：d = ( a, b )，有解的條件是c能被d整除：(a, b )|c。

定理2：設整係數二元一次不定方程：ax + by = c，有一組整數解：x = x0, y = y0，則通解可以表示為：

x = x0 - b * t，y = y0 + a * t，t是整數。

二元一次方程的另一種形式：

a(x/c) + b(y/c) = 1

4) 回到翻幣問題

方法已經有了，讓我們回過頭來看看無解的情況，對於下面的整係數不定方程

( s + k ) * p – 2 * t = m： a = p, x = s + k, b = 2, y = -t

或者( s – k ) * p + 2 * t = n： a = p, x = s – k, b = 2, y = t

問題轉換為求

a * x + b * y = m或者a * x + b * y = n的整數解

定理1：如果m、n均為奇數，而p為偶數，無法完成翻幣。

例子1：

100枚正面朝上，1枚反面朝上，每次翻3，即 m = 100，n = 1，p = 3。

( s – k ) * p + 2 * t = n —> 3 * ( s – k ) + 2 * t = 1

可以觀察出：t = 2，s – k = -1是t最小的一組解，根據t = i1 + i2 + … + ik，因為

i1、i2、…、 ik >= 0，因為要求k最小，所以：t = i1 + i2 = 2，k = 2, s = 1，根據本例，又有：i1<2，所以t = i1 + i2 = 2可能的解為：i1 = 0，1，i2 = 2、1這個給出翻幣的具體方案為：

1）第一輪全翻正面的硬幣，幣面狀態數：( 100 – 3 + 2 * 0 , 1 +3 - 2 * 0 ) = ( 97, 4 )，第二輪把處於反面硬幣翻2枚過去，把處於正面的1枚翻過來，結果幣面狀態數

( 98, 3 )，第3輪全翻處於反面狀態的硬幣，結果幣面狀態數：( 101, 0 )，翻幣結果全翻成正面，翻幣完成。

2）第一輪翻2枚正面的硬幣過去，翻一枚反面的硬幣過來，幣面狀態數：( 100 – 3 + 2 * 1 , 1 +3 - 2 * 1 ) = ( 99, 2 )，第二輪把處於反面硬幣翻1枚過去，把處於正面的2枚翻過來，結果幣面狀態數( 98, 3 )，第3輪全翻處於反面狀態的硬幣，結果幣面狀態數：( 101, 0 )，翻幣完成。這種方案，還有乙個解：99/3 + 1 = 34輪翻完，但不是最小解。

例子2100枚正面朝上，5枚反面朝上，每次翻7，即 m = 100，n = 5，p = 7。

考慮：( s – k ) * p + 2 * t = n —> 7 * ( s – k ) + 2 * t = 5，s - k = ( 5 - 2 * 6 ) / 7 = -1, t = 6，s = 1, k = 2, t = i1 + i2 = 1 + 5,(100, 5) --> ( 95, 10 ) --> ( 98, 7 ) --> ( 105, 0 ),3次翻完。

考慮：( s + k ) * p – 2 * t = m —> 7 * ( s + k ) – 2 * t = 100

s + k = ( 100 + 2 * t ) / 7 = ( 14 * 7 + 2 + 2 * t ) / 7 = 14 + 2 = 16次，t = 6,前面14次全翻正面的硬幣，結果變為：(100 – 14 * 7, 5 + 14 * 7 ) = ( 2, 103 )，然後把正面的一枚翻過去，反面的6枚翻過來，結果：( 7, 98 )，最後把正面的7枚全翻過去：( 0, 105 )，其他還有15種方案。

例子36枚正面朝上，5枚反面朝上，每次翻7，即 m = 6，n = 5，p = 7。

考慮：( s – k ) * p + 2 * t = n —> 7 * ( s – k ) + 2 * t = 5，s - k = ( 5 - 2 * 6 ) / 7 = -1, t = 6，s = 1, k = 2, t = i1 + i2 = 2+ 4；( 6, 5 ) --> ( 3, 8 ) --> ( 4, 7 ) --> ( 11, 0 ),3次翻完。

考慮：( s + k ) * p – 2 * t = m —> 7 * ( s + k ) – 2 * t = 6

s + k = ( 6 + 2 * t ) / 7 = ( 6 + 2 * t ) / 7 = 2次，t = 4，因為 t = 4 > 0，所以k > 0，所以可能的解為： s = 0, k = 2，或者： s = 1, k = 1 。根據：

對於：s = 0, k = 2, t = i1 + i2 = 4， i1 = 1， 2， 3，i2 = 3, 2, 1相應的：p - i1 = 6, 5, 4, p – i2 = 4, 5, 6

i1 = 1：( 6, 5 ) —> ( 1, 10 ), m = 1 < 4 = p – i2無法進行下去。

i1 = 2：( 6, 5 ) —> ( 3, 8 ) —> i2 = 2 因為 m = 3 < 4 = p – i2無法進行下去。

i1 = 3：( 6, 5 ) —> ( 5, 6 ) —> i2 = 1因為 m = 5 < 6 = p – i2無法進行下去。

對於：s = 1, k = 1, t = i1 = 4：( 6, 5 ) —> ( 7, 4 ) —> ( 0, 11 )兩輪翻完。

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