資料依賴的公理系統

在說公理系統前，要理解函式依賴的概念（可以看我部落格裡面講正規化的文章也有提到函式依賴的定義）

理解是，我們在r裡面任意找乙個r關係，對於這個關係的元組s和t，當s和t在屬性（組）x上面相等，則s和t在y屬性（組）上也相等。這樣被稱為，x函式確定y函式或者說y函式依賴於x函式（x->y).

理解是，在r關係模式裡面，u是屬性集，f是函式依賴集（一些函式依賴組成），在這個關係模式裡面，如果所有關係都滿足 x->y這乙個函式依賴，則成為f邏輯蘊含x->y。

例如

r: u = f=

則有，f邏輯蘊含a->b，ab->b，a->c

理由是：a->b是在f函式依賴集裡面顯式給出的，ab->b b屬性式ab的乙個子集，所以ab必然決定b， a->c則是通過函式依賴傳遞得到的。

它是一套推理規則，是模式分解演算法的理論基礎，

以下是公理系統的重要規律和推論

自反律（reflexivity）：若y x  u，則x →y為f所蘊含。

//x包含y，即y是x的子集，所以必然有x決定y

增廣律（augmentation）：若x→y為f所蘊含，且z  u，則xz→yz為f所蘊含。

//可以在函式依賴兩邊加一樣的屬性。

傳遞律（transitivity）：若x→y及y→z為f所蘊含，則x→z為f所蘊含。

合併規則：由x→y，x→z，有x→yz

偽傳遞規則：由x→y，wy→z，有xw→z。

分解規則：由x→y及 z含於y，有x→z。

有效性/確定性：函式依賴集f根據公理推出的每一條函式依賴都是正確的，而且都在f的閉包中。

完備性：函式依賴集f閉包中所有的函式依賴都可以用公理匯出。

定義：若f為關係模式r(u)的函式依賴集，我們把f以及所有被f邏輯蘊涵的函式依賴的集合稱為f的閉包，記為f+。

函式依賴的閉包指f所邏輯蘊含的所有成立的函式依賴，而對於平凡函式依賴（如（a,b）—>a ）都被f所邏輯蘊含，即便f是乙個空集，其閉包也包含很多函式依賴

這樣把閉包的所有成員全部羅列出來通常是沒有很大意義的。

定義：設f位屬性集u上的一組函式依賴，x含於u，則

稱為是屬性集x關於函式依賴集f的閉包

在f確定的情形下，也可以寫成x+

*例如

r: u = f=

則x關於函式依賴集f的閉包是abc(的簡寫)

因為a->a,a->b,a->c都可以直接或者間接得出

前面提及是羅列出閉包的所有成員是不實際的，有很多，而且是意義不大的一件事情。但是我們如果真的要表示乙個閉包時該怎麼辦呢？或者說我們在要判斷乙個函式依賴是否成立（是否在乙個函式依賴集裡面）時，我們要怎麼求解呢？

接下來的定理，它將函式依賴是否成立轉化為屬性集閉包的問題

說明：x決定y當且僅當y時x屬性集閉包的乙個子集或者可以說， y要在x屬性集閉包裡面，才可以說x確定y.

這樣我們就把本來要計算乙個函式依賴閉包的問題，轉化位了乙個屬性集閉包的問題。

對於屬性集閉包的求解

我們提供一套演算法：

解